Oblicz całkę nieoznaczoną

[drooone]

Witam robie sobie mała powtórke i mam pytanie
jakim sposobem liczy sie tego typu calki:

\(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}x }{x^{3}+x}}\)

z gory dzieki

[Lbubsazob]

Rozłóż na ułamki proste.

[drooone]

Mówisz o czymś takim?

\(\displaystyle{ \int \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2}-1} \right) dx}\)

Potem pierwsza czesc ze wzoru a druga czesc przez podstawienie
Czy masz jakiś inny patent jeszcze?

[alfgordon]

tak, tylko w mianowniku: \(\displaystyle{ x^2 +1}\)

[drooone]

Fakt moj błąd przy przepisywaniu.

[Lbubsazob]

Drugiej nie musisz przez podstawienie, doprowadź do takiej postaci żeby licznik był pochodną mianownika (co w tym wypadku nie jest trudne).

[drooone]

Mam jeszcze pytanie moze ktos jeszcze znajdzie czas aby na nie odp.

Czy jest jakis sposób na przejscie z tej postaci

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{x^{3}+x}}\) na taka \(\displaystyle{ (\int\frac{1}{x}-\int \frac{x}{x^{2}-1})}\)

Bo przyznam sie szczerze ze wpadłem na to przypadkiem
a chodzi mi o jakis "mechaniczny" sposób jak w przypadku poniżej:

Przykład:

\(\displaystyle{ \int\frac{x-1}{x+1}}\) teraz sposób którego mnie nauczono

do licznika dodaje i odejmuje \(\displaystyle{ 1}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{x-1+1-1}{x+1}}\)

co pozwala mi przejsc na taka postac

\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{x+1}- \frac{2}{x+1}}\) Po uproszczeniu

\(\displaystyle{ \int1- \frac{2}{x+1}}\) i tu juz licze całke z pierwszego i z drugiego bez problemu

Czy istnieje podobny sposób na rozłożenie na ułamki proste mojego pierwszego rownania
Wiem ze byc może powinienem robic to w głowie automatycznie
ale narazie cos mi nie idzie.

Z góry dzieki za odp.

[alfgordon]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x(x^2 +1)} =\frac{A}{x} +\frac{Bx+C }{x^2 +1}}\)

mnożysz obustronnie przez mianownik i wyliczasz: \(\displaystyle{ A,B,C}\)

[Dasio11]

Drugiej nie musisz przez podstawienie, doprowadź do takiej postaci żeby licznik był pochodną mianownika (co w tym wypadku nie jest trudne).

Ta metoda nazywa się właśnie całkowaniem przez podstawienie.

[Lbubsazob]

Wychodzi na jedno, ale na ćwiczeniach mieliśmy to tak wyprowadzone, że to niby są dwie różne metody. Jak przez podstawienie, to trzeba pisać \(\displaystyle{ t=x^2+1, \ \mbox{d}t=2x \mbox{d}x}\) i tak dalej, a ta druga metoda to po prostu od razu patrzy się na całkę i doprowadza do takiej postaci, żeby skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \mbox{d}x =\ln\left| f(x)\right|+C}\).

[drooone]

Dobra juz wiem
Po prostu umknał mi taki "mały" dział który sie zwie "Całki wymierne"
No i tam sie znajduja takie cuda jak:
-rozklad na ułamki proste
-przekształcanie licznika tak, aby cześć jego skladników była równa pochodnej mianownika
-sprowadzanie mianownika do postaci kanonicznej

No i kolejny wieczór z głowy