grupa abelowa

[justyska0809]

Niech dana będzie grupa \(\displaystyle{ (G,*)}\) z elementem neutralnym \(\displaystyle{ e}\). Wykazać, że jeśli dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ a*a=e}\), wtedy grupa \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.

[Lorek]

Przy tym warunku w szczególności mamy \(\displaystyle{ (a*b)*(a*b)=e}\) dla \(\displaystyle{ a,b\in G}\), a z tego łatwo otrzymać tezę.

[pyzol]

\(\displaystyle{ (a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=e}\)
Wynika z tego, że elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a*b}\) jest \(\displaystyle{ b*a}\).
Z założenia elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a*b}\) jest \(\displaystyle{ a*b}\).
Więc:
\(\displaystyle{ a*b=b*a}\)