Ekstremum funkcji wielu zmiennych i wyznacznik zerowy!

[kbzium]

Co zrobić, jeśli wszystkie wyznaczniki na przekątnej głównej są zerowe? Chodzi o zadanie

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=xyz(1-x-y-z)}\)

Wyszło mi, że punkty stacjonarne to \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) lub \(\displaystyle{ \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}}\).

W obu przypadkach macierz ma wszystkie wyznaczniki zerowe oczywiście. Co wtedy? I jeszcze jedno: jak postępować w przypadku "niebezpiecznej" funkcji np. \(\displaystyle{ f(x,y)=1- \sqrt{x ^{2}+y^{2} }.}\) Nie da się policzyć pochodnych w (0,0), bo by wyszła \(\displaystyle{ \infty}\). Wtedy mam liczyć z definicji? Jeśli granica nie będzie istniała, to co dalej? Bo że nie ma pochodnej nie znaczy że nie ma ekstremum...


Dziękuję!

[Lorek]

Hmm mi trochę więcej tych punktów stacjonarnych wyszło (w sumie to mathematice ) no ale dobra.
Jak się nie da sprawdzić wyznacznikami, to trzeba z definicji. Najpierw to trzeba się zastanowić czy tam będzie ekstremum czy raczej nie, żeby wiedzieć co próbować udowodnić. Jeśli sądzimy, że ekstremum nie ma, to możemy spróbować to udowodnić wskazując dwa ciągi zbieżne do punktu stacjonarnego, dla których raz będziemy mieć wartości większe od wartości w punkcie stacjonarnym a raz mniejsze. Np. mamy punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ f(0,0,0)=0}\). Weźmy dwa ciągi zbieżne do tego punktu : \(\displaystyle{ a_n=(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n}),\ b_n=(-\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n})}\), jak się okazuje od pewnego \(\displaystyle{ n}\): \(\displaystyle{ f(a_n)>0,\ f(b_n)<0}\) czyli ekstremum nie będzie, bo w dowolnie małym otoczeniu (0,0,0) funkcja przyjmuje i większe i mniejsze wartości niż w (0,0,0). Zamiast ciągów można też rozpatrywać przyrosty.

Natomiast jak próbujemy pokazać, że ekstremum jest, to trzeba próbować jakoś szacować wyrażenie. I tu jest dobry drugi przykład, choć (0,0) nie jest punktem stacjonarnym. Ale wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ (x,y)\neq (0,0)}\) to \(\displaystyle{ x^2+y^2>0\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}>0\rightarrow 1-\sqrt{x^2+y^2}<1=1-\sqrt{0^2+0^2}}\)
czyli w tym punkcie będzie ekstremum.

[alfgordon]

tylko, że w tym drugim punkcie chyba normalnie wychodzi, tzn macierz jest ujemnie określona, więc jest maksimum

[kbzium]

Ok. A co z zadaniem drugim? Trzeba wtedy liczyć z definicji pochodne cząstkowe w punkcie?