Całka nieoznaczona

[niou_ns]

Policz całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{4x+7}{ \sqrt{ x^{2}+5}}}\)

Próbowaliśmy przez podstawienie \(\displaystyle{ t = x^{2} + 5 ; dx = \frac{dt}{2x}}\)

I dochodzimy do momentu:

\(\displaystyle{ 4\sqrt{t} + C + 7 \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac {dt}{2x}}\)

I co dalej ? Proszę o pomoc.

[alfgordon]

\(\displaystyle{ \int \frac{4x+7}{ \sqrt{ x^{2}+5}} =2 \int \frac{2x}{\sqrt{x^2 +5}}dx +7 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 +5}} dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{2x}{\sqrt{x^2 +5}}dx =2\sqrt{x^2 +5}}\)

drugą całkę liczysz korzystając z pierwszego podstawienia Eulera (lepiej znać gotowy wzór na takie całki)

[niou_ns]

Potrzebny wzór Eulera:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{x^{2}+k} } = \ln \left|x + \sqrt{x^{2}+k} \right| + C}\)


\(\displaystyle{ \int \frac{4x+7}{ \sqrt{ x^{2}+5}}
\\
t = x^{2} + 5 ; \quad dx = \frac{dt}{2x}
\\
\int \frac{4x}{ \sqrt{t}} \frac{dt}{2x} + \int \frac{7}{ \sqrt{ x^{2}+5}} dx =
\\
2 \int \frac{dt}{\sqrt{t}} + \int \frac{7}{ \sqrt{ x^{2}+5}} dx =
\\
4 \sqrt{t} + C + 7 \int \frac{dx}{\sqrt{ x^{2}+5}} =
\\
4 \sqrt{x^{2}+5} + C + 7 \ln \left| x + x^{2}+5 \right| +C}\)