zmiana kolejności całkowania

[adamss1936]

Dobry wieczór
treść
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\left[ \int_{- \sqrt{1-(x-1)^{2}} }^{3}f(x,y)dy\right]dx}\)

odp wg. mnie:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy\int_{1- \sqrt{y^{2}+1} }^{2}f(x,y)}\)

Narysowałem rysunek: \(\displaystyle{ x=0,\ x=2,\ y=3}\) i okrąg o \(\displaystyle{ r=1}\) i środku \(\displaystyle{ (1,0)}\) - czyli interesuje mnie obszar nad okręgiem między tymi prostymi...

i odrazu pytanie: jeśli dobrze to zrobiłem to dlaczego nie mógłbym zrobić tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy\int_{1- \sqrt{y^{2}+1} }^{1+ \sqrt{y^{2}+1}}f(x,y)}\)

Dziękuje serdecznie

[Chromosom]

Narysowałem rysunek: \(\displaystyle{ x=0,\ x=2,\ y=3}\) i okrąg o \(\displaystyle{ r=1}\) i środku \(\displaystyle{ (1,0)}\) - czyli interesuje mnie obszar nad okręgiem między tymi prostymi...

zgadza sie

i odrazu pytanie: jeśli dobrze to zrobiłem to dlaczego nie mógłbym zrobić tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy\int_{1- \sqrt{y^{2}+1} }^{1+ \sqrt{y^{2}+1}}f(x,y)}\)

te nierówności opisują inny obszar. Musisz podzielic obszar na dwa obszary normalne

[adamss1936]

1.czyli pierwsze jest dobrze ?

2. no ale jak to...ide sobie po x-ach zaczynam od połówki okręgu \(\displaystyle{ 1- \sqrt{y^{2}+1}}\) i kończę na połówce okręgu \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{y^{2}+1}}\) tak to sobie wykombinowałem...

3. a teraz to wogóle stwierdziłem, że powinno byc
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy\int_{1+ \sqrt{y^{2}+1} }^{2}f(x,y)}\)

bo chyba nie do końca rozumiem jak to jest z tym \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{y^{2}+1}}\) - to jest to okrąg na prawo od osi OY, a \(\displaystyle{ 1- \sqrt{y^{2}+1}}\) to takie samo okrąg na lewo od OY ?
czy to są połówki tego okręgu

wszystko mi sie juz pomieszało...

[Chromosom]

1. obszar jest dobrze wyznaczony
2. to nie jest równanie okręgu
3. jak wyżej

[adamss1936]

Ad.2 to czym to właściwie jest...

[Chromosom]

to jest równanie opisujące inną krzywą, wyznacz poprawnie z równania okręgu zależność \(\displaystyle{ x(y)}\), najpierw napisz jakie równanie okręgu otrzymałeś

[adamss1936]

z tego \(\displaystyle{ y=- \sqrt{1-(x-1)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+y^{2}=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left| x-1\right|= \sqrt{y^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ x=1+\sqrt{y^{2}+1}}\) lub \(\displaystyle{ x=1-\sqrt{y^{2}+1}}\)

i od tej pory mam chaos..

[Chromosom]

przejście z drugiej do trzeciej linijki jest błędne, najpierw odejmij \(\displaystyle{ y^2}\) stronami

[adamss1936]

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+y^{2}=1 \\
(x-1)^{2}= 1-y^{2} \\
\left| x-1\right| = \sqrt{1-y^{2}} \\
x= 1-\sqrt{1-y^{2}} \ \text{lub} \ x= 1+\sqrt{1-y^{2}}}\)

[Chromosom]

teraz dobrze, dokończ

[adamss1936]

Teraz uważam, że \(\displaystyle{ x= 1-\sqrt{1-y^{2}} \ \text{to lewa połówka natomiast} \ x= 1+\sqrt{1-y^{2}} \text{to prawa połówka}}\)

Jeśli tak jest to w pierwszym poście mam błąd, bo powinno być:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy\int_{1- \sqrt{1-y^{2}} }^{2}}f(x,y)dx}\)
a ja nadal się zastanawiam tym razem dlaczego nie może być:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy\int_{1- \sqrt{1-y^{2}} }^{1+ \sqrt{1-y^{2}}}f(x,y)dx}\)

Musze to wkońcu załapać :/

[Chromosom]

Teraz uważam, że \(\displaystyle{ x= 1-\sqrt{1-y^{2}} \ \text{to lewa połówka natomiast} \ x= 1+\sqrt{1-y^{2}} \text{to prawa połówka}}\)

zgadza sie

Jeśli tak jest to w pierwszym poście mam błąd

w pierwszym poście posłużyłeś się błędnym równaniem, o czym już Ci mówiłem

a ja nadal się zastanawiam tym razem dlaczego nie może być:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy\int_{1- \sqrt{1-y^{2}} }^{1+ \sqrt{1-y^{2}}}f(x,y)dx}\)

Musze to wkońcu załapać :/

ponieważ obszar nie jest normalny względem osi \(\displaystyle{ Oy}\), można go podzielić na dwa obszary normalne. Zrób to najpierw

[adamss1936]

nie czaje ale spróbuje wykonać
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy(\int_{1- \sqrt{1-y^{2}} }^{1}f(x,y)dx +\int_{1} }^{1+ \sqrt{1-y^{2}}}f(x,y)dx)}\)

Jak ta całka jest początkowa zapisana to widze ze biorę x od 0 do 2, a idąc po y-kach dołem jest okrąg a górą 3. Mam obszar.

jak to obracam to biore y-ki od 0 do 3.. ale na x-ach mam prostokąt z połową okręgu wchodzącą w bok tego prostokąta i nie wiem cały czas co mi tu ogranicza od dołu, a co od góry..

Powiedziałbym nawet, że to co zapisałem na samej górze tego posta to raczej opisuje ten obszar wspólny okręgu i prostokąta. Z czego by wynikało, że idąc tym tropem muszę to zapisać tak:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy(\int_{0}^{1}f(x,y)dx - \int_{1- \sqrt{1-y^{2}} }^{1}f(x,y)dx + \int_{1} }^{2}f(x,y)dx)\int_{1} }^{1+ \sqrt{1-y^{2}}}f(x,y)dx)}\)

Wtedy byłbym prawie pewny że dostane potrzebny obszar. ale chyba nie oto chodzi w tej iteracji żeby rozpisać to na 5 całek.

[Chromosom]

nie czaje ale spróbuje wykonać
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3}dy(\int_{1- \sqrt{1-y^{2}} }^{1}f(x,y)dx +\int_{1} }^{1+ \sqrt{1-y^{2}}}f(x,y)dx)}\)

granice po \(\displaystyle{ x}\) źle

Jak ta całka jest początkowa zapisana to widze ze biorę x od 0 do 2, a idąc po y-kach dołem jest okrąg a górą 3. Mam obszar.

zgadza się

jak to obracam to biore y-ki od 0 do 3.. ale na x-ach mam prostokąt z połową okręgu wchodzącą w bok tego prostokąta i nie wiem cały czas co mi tu ogranicza od dołu, a co od góry..

zgadza się. Obróć rysunek o 90 stopni to zobaczysz

Powiedziałbym nawet, że to co zapisałem na samej górze tego posta to raczej opisuje ten obszar wspólny okręgu i prostokąta. Z czego by wynikało, że idąc tym tropem muszę to zapisać tak: [...] Wtedy byłbym prawie pewny że dostane potrzebny obszar. ale chyba nie oto chodzi w tej iteracji żeby rozpisać to na 5 całek.

nie. Jednym z obszarów normalnych jest półokrąg więc najpierw nim się zajmij