Witam.
Mam pytanie, czy sposób którym rozwiązałem zadanie jest prawidłowy?
Mam taki układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x' = x - 2y - z\\y' = -x + y + z\\z' = x - z \end{array}}\)
Widząc coś takiego przyszło mi tylko na myśl, że muszę rozwiązać całkę
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x' dx = \int_{}^{} (x - 2y - 2z) dx}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}x^2 - 2xy - 2xz}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x^2 - 2xy - 2xz - x = 0}\)
\(\displaystyle{ x(\frac{1}{2}x - 2y - 2z - 1) = 0}\)
to samo dokonuję dla \(\displaystyle{ y'}\) i \(\displaystyle{ z'}\), ale odpowiednio całkowane po \(\displaystyle{ dy}\) i \(\displaystyle{ dz}\)
Potem dokonuję obliczeń dla \(\displaystyle{ x = 0}\), \(\displaystyle{ y = 0}\), \(\displaystyle{ z = 0}\) i dla pozostałych równań, tylko wychodzi trochę dużo tych wyników. Czy metoda ta jest zła? Jeżeli tak, to proszę o jakąś wskazówkę jak to rozwiązać.
Układ równań pochodnych
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Układ równań pochodnych
To niestety nie zadziała, bo tutaj \(\displaystyle{ x'= \frac{dx}{dt}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{dx}{dx}=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2&-1\\-1&1&1\\1&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\
det \begin{bmatrix}1-\lambda&-2&-1\\-1&1-\lambda&1\\1&0&-1-\lambda\end{bmatrix}=-\lambda\left( \lambda+1\right)\left( \lambda-2\right)=0 \Rightarrow \lambda\in\{-1,0,2\}\\
\lambda_1=-1\\
\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-2&-1\\-1&2&1\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\
\left\{\begin{array}{l}2x-2y-z=0\\-x+2y+z=0\\x=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-2y-z=0\\2y+z=0\\x=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\y=C_1\\z=-2C_1\end{array}\\}\)
\(\displaystyle{ \lambda_2=0\\
\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2&-1\\-1&1&1\\1&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\ \left\{\begin{array}{l}x-2y-z=0\\-x+y+z=0\\x-z=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=0\\-x+z=0\\x-z=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=C_2\\y=0\\z=-C_2\end{array}\\}\)
\(\displaystyle{ \lambda_3=2\\
\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-2&-1\\-1&-1&1\\-1&0&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\
\left\{\begin{array}{l}x-2y-z=0\\-x-y+z=0\\x-3z=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-4z-2y=0\\-2z-y=0\\x=3z\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=3C_3\\y=-2C_3\\z=C_3\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\C_1\\-2C_1\end{bmatrix}e^{\lambda_1t}+\begin{bmatrix}C_2\\0\\-C_2\end{bmatrix}e^{\lambda_2t}+\begin{bmatrix}3C_3\\-2C_3\\C_3\end{bmatrix}e^{\lambda_3t}\\ \\ \\
\left\{\begin{array}{l}x=C_2+3C_3e^{2t}\\y=C_1e^{-t}-2C_3e^{2t}\\z=-2C_1e^{-t}-C_2+C_3e^{2t}\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2&-1\\-1&1&1\\1&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\
det \begin{bmatrix}1-\lambda&-2&-1\\-1&1-\lambda&1\\1&0&-1-\lambda\end{bmatrix}=-\lambda\left( \lambda+1\right)\left( \lambda-2\right)=0 \Rightarrow \lambda\in\{-1,0,2\}\\
\lambda_1=-1\\
\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-2&-1\\-1&2&1\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\
\left\{\begin{array}{l}2x-2y-z=0\\-x+2y+z=0\\x=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-2y-z=0\\2y+z=0\\x=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\y=C_1\\z=-2C_1\end{array}\\}\)
\(\displaystyle{ \lambda_2=0\\
\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2&-1\\-1&1&1\\1&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\ \left\{\begin{array}{l}x-2y-z=0\\-x+y+z=0\\x-z=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=0\\-x+z=0\\x-z=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=C_2\\y=0\\z=-C_2\end{array}\\}\)
\(\displaystyle{ \lambda_3=2\\
\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-2&-1\\-1&-1&1\\-1&0&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\
\left\{\begin{array}{l}x-2y-z=0\\-x-y+z=0\\x-3z=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-4z-2y=0\\-2z-y=0\\x=3z\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=3C_3\\y=-2C_3\\z=C_3\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\C_1\\-2C_1\end{bmatrix}e^{\lambda_1t}+\begin{bmatrix}C_2\\0\\-C_2\end{bmatrix}e^{\lambda_2t}+\begin{bmatrix}3C_3\\-2C_3\\C_3\end{bmatrix}e^{\lambda_3t}\\ \\ \\
\left\{\begin{array}{l}x=C_2+3C_3e^{2t}\\y=C_1e^{-t}-2C_3e^{2t}\\z=-2C_1e^{-t}-C_2+C_3e^{2t}\end{array}}\)