Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

[vitar]

Witam !
od rana z przerwami staram się rozkminić granice ciągów, w końcu zdecydowałem się napisać tu z nadzieją że ktoś mi to wytłumaczy łopatologicznie słownie a nie na wzorze

Z tego co do tej pory zrozumiałem:
- Granica ciągu w ciągu zbieżnym to punkt g do którego zbliżają się (ale nigdy nie staną się) wyrazy ciągu o wartość mniejszą niż epsilion (który jest z kolei wiekszy od różnicy danego wskaźnika ciągu i granicy (g))

- granica ciągu w ciągu zbieżnym zawsze zmierza do nieskończoności + lub -

??

[wszamol]

Ciąg zmierza do pewnej liczby g (którą nazywamy granicą tego ciągu), gdy od pewnego miejsca odległość wyrazów tego ciągu od liczby g jest mniejsza od dowolnie małej liczby, większej od zera. Granicę ciągu rozpatruje się w nieskończoności, w \(\displaystyle{ - \infty}\) to nie ma sensu, bo ciąg określony jest na liczbach naturalnych.

[vitar]

gdy od pewnego miejsca odległość wyrazów tego ciągu od liczby g jest mniejsza od dowolnie małej liczby, większej od zera.

Jakoś nie mogę sobie tego wyobrazić, dla mnie już od początku zmierza do g.
I zawsze zmierza w każdym ciągu ?

Granicę ciągu rozpatruje się w nieskończoności,

co to oznacza ?

[wszamol]

Jakoś nie mogę sobie tego wyobrazić, dla mnie już od początku zmierza do g.

Ja nie napisałem od którego momentu jakiś ciąg zmierza do granicy. Przeczytaj uważnie. Od pewnego miejsca moduł z różnicy wyrazu ciągu i g jest mniejszy od epsilon. oznacza to, że na początku wyrazy ciągu mogą być dowolnie daleko od tego g, ale jeśli wiemy, że dany ciąg posiada granicę, to od pewnego miejsca (może bardzo odległego) zaczną się one zbliżać do g na dowolnie małą odległość.

I zawsze zmierza w każdym ciągu ?

oczywiście, że nie, są ciągi które granicy nie posiadają w ogóle.

Granicę ciągu rozpatruje się w nieskończoności,

co to oznacza ?

Oznacza to tyle, że bada się co się dzieje dla bardzo dużych n (potocznie co się dzieje dla nieskończenie dużych n).

[vitar]

oczywiście, że nie, są ciągi które granicy nie posiadają w ogóle.

czy chodzi o ciągi rozbieżne ?

Oznacza to tyle, że bada się co się dzieje dla bardzo dużych n (potocznie co się dzieje dla nieskończenie dużych n).

Aha, dlatego kiedy szukamy granicy ciągu , zapisujemy to jako: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }}\) .
Jednak gdzieś przeczytałem, że tylko ciągi ograniczone mają granice a skoro tak, to co tu robi nieskończoność ?

[wszamol]

czy chodzi o ciągi rozbieżne ?

Nie, ciąg rozbieżny, to taki którego granica wynosi \(\displaystyle{ + \infty}\) lub \(\displaystyle{ - \infty}\) .
Są takie ciągi, które granicy po prostu nie mają, najprostszym przykładem jest ciąg \(\displaystyle{ a _{n} =(-1) ^{n}}\)

Aha, dlatego kiedy szukamy granicy ciągu , zapisujemy to jako: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }}\) .
Jednak gdzieś przeczytałem, że tylko ciągi ograniczone mają granice a skoro tak, to co tu robi nieskończoność ?

Ograniczoność dotyczy wartości wyrazów tego ciągu, a nie ich ilości. I bardziej by pasowało mówić, że tylko ciągi ograniczone są zbieżne, bo możemy mieć jakiś ciąg nieograniczony, który ma granicę \(\displaystyle{ + \infty}\) lub \(\displaystyle{ - \infty}\) . Najlepiej jak zobaczysz co znaczy, że ciąg jest ograniczony (tzn. poznasz definicję).

[Rogal]

Sprostowanie - ciąg, który nie ma granicy właściwej nazywamy rozbieżnym.
Gdy dalej nie przeszkadzają nam nieskończoności, to o ciągach, które zbiegają do którejś z nich mówi się, że są "rozbieżne do nieskończoności". Wtedy ciągi bez granicy zwie się po prostu rozbieżnymi.

[vitar]

Ok, szukałem w sieci i wreszcie zrozumiałem definicję (aczkolwiek nie wiem jak ją wykorzystać aby obliczyć lim)

A więc jest sobie ciąg np.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\ldots}\)

I \(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{1}{2}}\).

Z definicji dla każdego epsilona > 0 istnieje taki numer wyrazu (N) dla którego odległość wszystkich wyrazów ciągu o numerach większych od N (n>N) jest mniejsze od epsilona.

Wtedy zostaje spełniony warunek w którym odległość kolejnego wyrazu od granicy jest mniejsza od epsilona. Czyli od danego wyrazu, różnica między kolejnym wyrazem a granicą jest mniejsza od epsilona i dalsze wyrazy ciągu zmierzają do granicy.

Huhh.
Jednocześnie w kwestii ciągu ograniczonego.
Powyższy mój ciąg jest zbieżny (dąży do 1) i ograniczony (nigdy nie osiągnie 1 i po 1 też nic już nie ma) - o to chodzi ?

[Jan Kraszewski]

Jednocześnie w kwestii ciągu ograniczonego.
Powyższy mój ciąg jest zbieżny (dąży do 1) i ograniczony (nigdy nie osiągnie 1 i po 1 też nic już nie ma) - o to chodzi ?

Chodzi o to, że wszystkie wyrazy ciągu należą do pewnego przedziału. W tym przypadku może to być np. przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\).

JK

[vitar]

Jednocześnie w zadaniu tutaj:

Został znaleziony wyraz, który przekracza granicę (2,01) jednak jest zgodny z warunkiem i jest niższy od epsilona. Czyli moja teoria w której granica jest końcem legła w gruzach i wróciłem do punktu wyjścia, co oznacza ciąg ograniczony ? gdzie jest to ograniczenie ?

[wszamol]

Sprostowanie - ciąg, który nie ma granicy właściwej nazywamy rozbieżnym.
Gdy dalej nie przeszkadzają nam nieskończoności, to o ciągach, które zbiegają do którejś z nich mówi się, że są "rozbieżne do nieskończoności". Wtedy ciągi bez granicy zwie się po prostu rozbieżnymi.

Czyli ciąg \(\displaystyle{ a _{n} =(-1) ^{n}}\) jest ciągiem rozbieżnym?

[Jan Kraszewski]

Został znaleziony wyraz, który przekracza granicę (2,01) jednak jest zgodny z warunkiem i jest niższy od epsilona. Czyli moja teoria w której granica jest końcem legła w gruzach i wróciłem do punktu wyjścia, co oznacza ciąg ograniczony ? gdzie jest to ograniczenie ?

Cóż z tego, że przekracza granicę? Przecież nie badamy, czy dany wyraz jest od granicy większy, czy mniejszy, tylko rozważamy jego odległość od granicy.

Granica jest "końcem" tylko dla ciągów monotonicznych, zastanów się nad ciągiem \(\displaystyle{ a_n= \frac{(-1)^n}{n}}\).

Ograniczoność oznacza, że możesz wszystkie wyrazy "zamknąć" w jakimś przedziale.

Czyli ciąg \(\displaystyle{ a _{n} =(-1) ^{n}}\) jest ciągiem rozbieżnym?

To tylko kwestia terminologii. Ta, którą zaproponował Rogal jest wygodna.

JK

[wszamol]

To tylko kwestia terminologii. Ta, którą zaproponował Rogal jest wygodna.

Dopytuję, bo wydaje mi się, że na zajęciach mówiło się po prostu "ciąg nie ma granicy" i się dowodziło. Z kolei jak coś "uciekało" do jakiejś nieskończoności to ciąg był rozbieżny. Ale jeśli to tylko kwestia terminologii to ok, nie chciałbym po prostu wprowadzać kogoś w błąd

[Jan Kraszewski]

Dopytuję, bo wydaje mi się, że na zajęciach mówiło się po prostu "ciąg nie ma granicy" i się dowodziło. Z kolei jak coś "uciekało" do jakiejś nieskończoności to ciąg był rozbieżny. Ale jeśli to tylko kwestia terminologii to ok, nie chciałbym po prostu wprowadzać kogoś w błąd

To tylko nazwy - trzeba po prostu ustalić, co osoba ich używająca ma na myśli. Na wykładach obowiązuje oczywiście terminologia wykładowcy...

JK

[vitar]

Opierając się o
Ciąg ograniczony powinien być zbiorem.

Dlatego wracając do zadania (Przykład 1)
Zbiorem powinny być liczby [3,2] . Jednak tak nie jest i wyrazy wychodzą dalej (50 wyraz = 2,02).
Jak to zinterpretować ?