Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wnętrza ziemi
- Podziękował: 16 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Witam !
od rana z przerwami staram się rozkminić granice ciągów, w końcu zdecydowałem się napisać tu z nadzieją że ktoś mi to wytłumaczy łopatologicznie słownie a nie na wzorze
Z tego co do tej pory zrozumiałem:
- Granica ciągu w ciągu zbieżnym to punkt g do którego zbliżają się (ale nigdy nie staną się) wyrazy ciągu o wartość mniejszą niż epsilion (który jest z kolei wiekszy od różnicy danego wskaźnika ciągu i granicy (g))
- granica ciągu w ciągu zbieżnym zawsze zmierza do nieskończoności + lub -
??
od rana z przerwami staram się rozkminić granice ciągów, w końcu zdecydowałem się napisać tu z nadzieją że ktoś mi to wytłumaczy łopatologicznie słownie a nie na wzorze
Z tego co do tej pory zrozumiałem:
- Granica ciągu w ciągu zbieżnym to punkt g do którego zbliżają się (ale nigdy nie staną się) wyrazy ciągu o wartość mniejszą niż epsilion (który jest z kolei wiekszy od różnicy danego wskaźnika ciągu i granicy (g))
- granica ciągu w ciągu zbieżnym zawsze zmierza do nieskończoności + lub -
??
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Ciąg zmierza do pewnej liczby g (którą nazywamy granicą tego ciągu), gdy od pewnego miejsca odległość wyrazów tego ciągu od liczby g jest mniejsza od dowolnie małej liczby, większej od zera. Granicę ciągu rozpatruje się w nieskończoności, w \(\displaystyle{ - \infty}\) to nie ma sensu, bo ciąg określony jest na liczbach naturalnych.
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wnętrza ziemi
- Podziękował: 16 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Jakoś nie mogę sobie tego wyobrazić, dla mnie już od początku zmierza do g.gdy od pewnego miejsca odległość wyrazów tego ciągu od liczby g jest mniejsza od dowolnie małej liczby, większej od zera.
I zawsze zmierza w każdym ciągu ?
co to oznacza ?Granicę ciągu rozpatruje się w nieskończoności,
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Ja nie napisałem od którego momentu jakiś ciąg zmierza do granicy. Przeczytaj uważnie. Od pewnego miejsca moduł z różnicy wyrazu ciągu i g jest mniejszy od epsilon. oznacza to, że na początku wyrazy ciągu mogą być dowolnie daleko od tego g, ale jeśli wiemy, że dany ciąg posiada granicę, to od pewnego miejsca (może bardzo odległego) zaczną się one zbliżać do g na dowolnie małą odległość.vitar pisze:Jakoś nie mogę sobie tego wyobrazić, dla mnie już od początku zmierza do g.
oczywiście, że nie, są ciągi które granicy nie posiadają w ogóle.I zawsze zmierza w każdym ciągu ?
Oznacza to tyle, że bada się co się dzieje dla bardzo dużych n (potocznie co się dzieje dla nieskończenie dużych n).vitar pisze:co to oznacza ?Granicę ciągu rozpatruje się w nieskończoności,
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wnętrza ziemi
- Podziękował: 16 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
czy chodzi o ciągi rozbieżne ?oczywiście, że nie, są ciągi które granicy nie posiadają w ogóle.
Aha, dlatego kiedy szukamy granicy ciągu , zapisujemy to jako: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }}\) .Oznacza to tyle, że bada się co się dzieje dla bardzo dużych n (potocznie co się dzieje dla nieskończenie dużych n).
Jednak gdzieś przeczytałem, że tylko ciągi ograniczone mają granice a skoro tak, to co tu robi nieskończoność ?
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Nie, ciąg rozbieżny, to taki którego granica wynosi \(\displaystyle{ + \infty}\) lub \(\displaystyle{ - \infty}\) .vitar pisze:czy chodzi o ciągi rozbieżne ?
Są takie ciągi, które granicy po prostu nie mają, najprostszym przykładem jest ciąg \(\displaystyle{ a _{n} =(-1) ^{n}}\)
Ograniczoność dotyczy wartości wyrazów tego ciągu, a nie ich ilości. I bardziej by pasowało mówić, że tylko ciągi ograniczone są zbieżne, bo możemy mieć jakiś ciąg nieograniczony, który ma granicę \(\displaystyle{ + \infty}\) lub \(\displaystyle{ - \infty}\) . Najlepiej jak zobaczysz co znaczy, że ciąg jest ograniczony (tzn. poznasz definicję).vitar pisze:Aha, dlatego kiedy szukamy granicy ciągu , zapisujemy to jako: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }}\) .
Jednak gdzieś przeczytałem, że tylko ciągi ograniczone mają granice a skoro tak, to co tu robi nieskończoność ?
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Sprostowanie - ciąg, który nie ma granicy właściwej nazywamy rozbieżnym.
Gdy dalej nie przeszkadzają nam nieskończoności, to o ciągach, które zbiegają do którejś z nich mówi się, że są "rozbieżne do nieskończoności". Wtedy ciągi bez granicy zwie się po prostu rozbieżnymi.
Gdy dalej nie przeszkadzają nam nieskończoności, to o ciągach, które zbiegają do którejś z nich mówi się, że są "rozbieżne do nieskończoności". Wtedy ciągi bez granicy zwie się po prostu rozbieżnymi.
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wnętrza ziemi
- Podziękował: 16 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Ok, szukałem w sieci i wreszcie zrozumiałem definicję (aczkolwiek nie wiem jak ją wykorzystać aby obliczyć lim)
A więc jest sobie ciąg np.
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\ldots}\)
I \(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{1}{2}}\).
Z definicji dla każdego epsilona > 0 istnieje taki numer wyrazu (N) dla którego odległość wszystkich wyrazów ciągu o numerach większych od N (n>N) jest mniejsze od epsilona.
Wtedy zostaje spełniony warunek w którym odległość kolejnego wyrazu od granicy jest mniejsza od epsilona. Czyli od danego wyrazu, różnica między kolejnym wyrazem a granicą jest mniejsza od epsilona i dalsze wyrazy ciągu zmierzają do granicy.
Huhh.
Jednocześnie w kwestii ciągu ograniczonego.
Powyższy mój ciąg jest zbieżny (dąży do 1) i ograniczony (nigdy nie osiągnie 1 i po 1 też nic już nie ma) - o to chodzi ?
A więc jest sobie ciąg np.
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\ldots}\)
I \(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{1}{2}}\).
Z definicji dla każdego epsilona > 0 istnieje taki numer wyrazu (N) dla którego odległość wszystkich wyrazów ciągu o numerach większych od N (n>N) jest mniejsze od epsilona.
Wtedy zostaje spełniony warunek w którym odległość kolejnego wyrazu od granicy jest mniejsza od epsilona. Czyli od danego wyrazu, różnica między kolejnym wyrazem a granicą jest mniejsza od epsilona i dalsze wyrazy ciągu zmierzają do granicy.
Huhh.
Jednocześnie w kwestii ciągu ograniczonego.
Powyższy mój ciąg jest zbieżny (dąży do 1) i ograniczony (nigdy nie osiągnie 1 i po 1 też nic już nie ma) - o to chodzi ?
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 10:27 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawet proste wyrażenia zamykaj w klamry[latex][/latex] .
Powód: Poprawa wiadomości. Nawet proste wyrażenia zamykaj w klamry
-
- Administrator
- Posty: 34334
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Chodzi o to, że wszystkie wyrazy ciągu należą do pewnego przedziału. W tym przypadku może to być np. przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\).vitar pisze:Jednocześnie w kwestii ciągu ograniczonego.
Powyższy mój ciąg jest zbieżny (dąży do 1) i ograniczony (nigdy nie osiągnie 1 i po 1 też nic już nie ma) - o to chodzi ?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wnętrza ziemi
- Podziękował: 16 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Jednocześnie w zadaniu tutaj:
Został znaleziony wyraz, który przekracza granicę (2,01) jednak jest zgodny z warunkiem i jest niższy od epsilona. Czyli moja teoria w której granica jest końcem legła w gruzach i wróciłem do punktu wyjścia, co oznacza ciąg ograniczony ? gdzie jest to ograniczenie ?
Został znaleziony wyraz, który przekracza granicę (2,01) jednak jest zgodny z warunkiem i jest niższy od epsilona. Czyli moja teoria w której granica jest końcem legła w gruzach i wróciłem do punktu wyjścia, co oznacza ciąg ograniczony ? gdzie jest to ograniczenie ?
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Czyli ciąg \(\displaystyle{ a _{n} =(-1) ^{n}}\) jest ciągiem rozbieżnym?Rogal pisze:Sprostowanie - ciąg, który nie ma granicy właściwej nazywamy rozbieżnym.
Gdy dalej nie przeszkadzają nam nieskończoności, to o ciągach, które zbiegają do którejś z nich mówi się, że są "rozbieżne do nieskończoności". Wtedy ciągi bez granicy zwie się po prostu rozbieżnymi.
-
- Administrator
- Posty: 34334
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Cóż z tego, że przekracza granicę? Przecież nie badamy, czy dany wyraz jest od granicy większy, czy mniejszy, tylko rozważamy jego odległość od granicy.vitar pisze:Został znaleziony wyraz, który przekracza granicę (2,01) jednak jest zgodny z warunkiem i jest niższy od epsilona. Czyli moja teoria w której granica jest końcem legła w gruzach i wróciłem do punktu wyjścia, co oznacza ciąg ograniczony ? gdzie jest to ograniczenie ?
Granica jest "końcem" tylko dla ciągów monotonicznych, zastanów się nad ciągiem \(\displaystyle{ a_n= \frac{(-1)^n}{n}}\).
Ograniczoność oznacza, że możesz wszystkie wyrazy "zamknąć" w jakimś przedziale.
To tylko kwestia terminologii. Ta, którą zaproponował Rogal jest wygodna.wszamol pisze:Czyli ciąg \(\displaystyle{ a _{n} =(-1) ^{n}}\) jest ciągiem rozbieżnym?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Dopytuję, bo wydaje mi się, że na zajęciach mówiło się po prostu "ciąg nie ma granicy" i się dowodziło. Z kolei jak coś "uciekało" do jakiejś nieskończoności to ciąg był rozbieżny. Ale jeśli to tylko kwestia terminologii to ok, nie chciałbym po prostu wprowadzać kogoś w błądJan Kraszewski pisze:To tylko kwestia terminologii. Ta, którą zaproponował Rogal jest wygodna.
-
- Administrator
- Posty: 34334
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
To tylko nazwy - trzeba po prostu ustalić, co osoba ich używająca ma na myśli. Na wykładach obowiązuje oczywiście terminologia wykładowcy...wszamol pisze:Dopytuję, bo wydaje mi się, że na zajęciach mówiło się po prostu "ciąg nie ma granicy" i się dowodziło. Z kolei jak coś "uciekało" do jakiejś nieskończoności to ciąg był rozbieżny. Ale jeśli to tylko kwestia terminologii to ok, nie chciałbym po prostu wprowadzać kogoś w błąd
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wnętrza ziemi
- Podziękował: 16 razy
Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji
Opierając się o
Ciąg ograniczony powinien być zbiorem.
Dlatego wracając do zadania (Przykład 1)
Zbiorem powinny być liczby [3,2] . Jednak tak nie jest i wyrazy wychodzą dalej (50 wyraz = 2,02).
Jak to zinterpretować ?
Ciąg ograniczony powinien być zbiorem.
Dlatego wracając do zadania (Przykład 1)
Zbiorem powinny być liczby [3,2] . Jednak tak nie jest i wyrazy wychodzą dalej (50 wyraz = 2,02).
Jak to zinterpretować ?