Wyznacz sumę szeregu

[SayWhat]

Mam problem z następującym zadaniem:

Wyznacz sumę szeregu:

\(\displaystyle{ x-x^3+x^5-x^7+...}\)

\(\displaystyle{ \left|x\right|<1}\)

Za bardzo nie wiem jak się za to zabrać... Doszedłem jedynie do tego, że szereg ten można zapisać jako:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n-1} x^{2n-1}}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki. Z góry dziękuję.

[abc666]

Skorzystaj z tego, że

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty } x^i=\frac{1}{1-x}}\)

Zamiast \(\displaystyle{ x}\) wstaw \(\displaystyle{ -x^2}\) i pomnóż wszystko przez \(\displaystyle{ x}\).

[SayWhat]

Wychodzi:

\(\displaystyle{ \frac{x}{1+ x^{2} }}\)

Jednak nie rozumiem dwóch rzeczy... Skąd ten wzór? Czy jest to ogólny wzór który można zastosować dla szeregów naprzemiennych? Dlaczego podstawiamy akurat \(\displaystyle{ -x^{2}}\)?

[Althorion]

Jest to wzór na sumę szeregu geometrycznego. A wstawiamy \(\displaystyle{ -x^2}\)... żeby wyszło. Dla innych nie wychodzi.

[Waq]

Wystarczy objaśnić wzór:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty } x^i=\frac{ 1 }{1-q}}\)
gdzie \(\displaystyle{ q}\) to iloraz ciągu geometrycznego (w tym przypadku \(\displaystyle{ -x^{2}}\)), co łatwo można zauważyć patrząc na kolejne wyrazy, \(\displaystyle{ x \rightarrow -x^{3}}\), wzoru możesz używać zawsze gdy masz ciąg geometryczny, wtedy najlepiej rozpisujesz sobie kilka kolejnych wyrazów i podstawiasz.