ekstremum funkcji uwikłanych

[adamss1936]

Witam

Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej y=y(x) określonej równaniem:
\(\displaystyle{ x^{2}-xy-y^{2}+5=0}\)

'wiem' jak wyznaczać ekstremum funkcji dwóch zmiennych.. - ale jak się zabrać do funkcji uwikłanej ?
Proszę o jakiś schemat pracy lub przykład jak się postępuje w takich przypadkach i będę próbował

Dziękuje
Pozdrawiam
adamss

[skolukmar]

Liczysz pochdną w równaniu pamiętając, że \(\displaystyle{ y}\) jest funkcją zaleźną od \(\displaystyle{ x}\). Z równania wyznaczasz \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) , przyrównujesz do 0 i masz ekstremum.

\(\displaystyle{ 2x - y - x \frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx} = 0}\)

[Qń]

przyrównujesz do 0 i masz ekstremum.

Nie tak od razu - to dopiero warunek konieczny. By sprawdzić warunek dostateczny, należy policzyć jeszcze drugą pochodną po \(\displaystyle{ x}\) i wstawić "podejrzane" punkty (pamiętając, że pierwsza pochodna się w nich zeruje). Jeśli druga pochodna jest dodatnia, to w danym punkcie jest minimum, a jeśli jest ujemna, to maksimum.

Q.

[adamss1936]

nie bardzo załapałem o czym mówicie.. ale znalazłem w wykładach schemat.. tylko coś mi się nie podobają moje wyniki....

W.K.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial F}{ \partial x} = 0 \\
\frac{ \partial F}{ \partial y} \neq 0 \\
F(x,y) = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y = 0 \\
-x-2y \neq 0 \\
x^{2}-xy-y^{2}+5=0 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x \\
x^{2}-xy-y^{2}+5=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -5x^{2}+5=0 \\
\left| x\right| = \sqrt{5} \\
x=\sqrt{5} \Rightarrow y=2\sqrt{5} \\
x=-\sqrt{5} \Rightarrow y=-2\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ P_{1}=(\sqrt{5},2\sqrt{5}) \\
P_{2}=(-\sqrt{5},-2\sqrt{5})}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y}(P_{1})=-5\sqrt{5} \neq 0 \Rightarrow \ może \ istniec \ extr}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y}(P_{2})=5\sqrt{5} \neq 0 \Rightarrow}\) może istnieć ekstremum

W.W.
\(\displaystyle{ y''=- \frac{F_{xx}(P_{0})}{F_{y}(P_{0})}}\)
\(\displaystyle{ F_{xx}=2 \\
F_{xx}(P_{1})=2 \\
y''= \frac{2}{-5\sqrt{5}} < 0 \ \Rightarrow}\) istnieje max w \(\displaystyle{ P_{1}}\)

\(\displaystyle{ F_{xx}=2 \\
F_{xx}(P_{2})=2 \\
y''= \frac{2}{5\sqrt{5}} > 0 \ \Rightarrow}\) istnieje min w \(\displaystyle{ P_{2}}\)

Wolfram natomiast nie znajduje żadnych ekstremów..

Dziękuje za cierpliwość

[skolukmar]

Ale rozumiesz skad się wzięła równość która napisałem ?

W układzie równań też ona pośrednio występuje.

Pomyliłes się tutaj:
\(\displaystyle{ -5x^{2}+5=0 \\ \left| x\right| = \sqrt{5}}\)

Powinno byc: \(\displaystyle{ x = \pm 1}\)

[adamss1936]

1. \(\displaystyle{ y'= \frac{2x-y}{2y-x}}\) wyliczyłem ale jak przyrównam do zera to nie wiem co robić...
Czy ten sposób który robie jest dobry ? jak tak to się nauczę i gitara byle zdać za 9dni egzamin.

2. Oczywiście masz racje !

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x \\
x^{2}-xy-y^{2}+5=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -5x^{2}+5=0 \\
\left| x\right| = 1 \\
x=\1 \Rightarrow y=2 \\
x=-1 \Rightarrow y=-2}\)

\(\displaystyle{ P_{1}=(1,2) \\
P_{2}=(-1,-2)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y}(P_{1})=-3 \neq 0 \Rightarrow \ może \ istniec \ extr}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y}(P_{2})=3 \neq 0 \Rightarrow}\) może istnieć ekstremum

W.W.
\(\displaystyle{ y''=- \frac{F_{xx}(P_{0})}{F_{y}(P_{0})}}\)
\(\displaystyle{ F_{xx}=2 \\
F_{xx}(P_{1})=2 \\
y''= \frac{2}{-3} < 0 \ \Rightarrow}\) istnieje max w \(\displaystyle{ P_{1}}\)

\(\displaystyle{ F_{xx}=2 \\
F_{xx}(P_{2})=2 \\
y''= \frac{2}{3} > 0 \ \Rightarrow}\) istnieje min w \(\displaystyle{ P_{2}}\)

Nadal mamy extrema. Czy teraz to jest dobrze rozwiązane ?