problem ze zrozumieniem własności

[jasiuu23]

Logika mi siada kiedy próbuję zrozumieć to stwierdzenie:

"\(\displaystyle{ x}\) jest zbiorem, który nie jest swoim własnym elementem"
tzn \(\displaystyle{ x}\) jest zbiorem i \(\displaystyle{ x}\)∉\(\displaystyle{ x}\)

Jest to dla mnie nie jasne, mógłby ktoś wytłumaczyć jak to rozumieć i podać przykłady? dziękuję

[Jan Kraszewski]

W rzeczywistości, w której obowiązuje aksjomat regularności, każdy zbiór ma te własność. Tak się składa, że zdecydowana większość matematyki rozgrywa się w takiej rzeczywistości.

Skąd wziąłeś to obciążające logikę pytanie?

JK

[jasiuu23]

Czytam tak dla siebie "Wykłady ze wstępu do matematyki" wydawnictwa PWN i mam problemy ze zrozumieniem antynomii Russella.

Źle rozumuję tzn jeżeli mamy zbiór \(\displaystyle{ x}\) = \(\displaystyle{ \left\{ 3,5,6\right\}}\) to jak to jest, że
\(\displaystyle{ x}\) ∉ \(\displaystyle{ x}\)? Bo raczej \(\displaystyle{ \left\{ 3,5,6\right\} \in \left\{ 3,5,6\right\}}\)?

[Qń]

Bo raczej \(\displaystyle{ \left\{ 3,5,6\right\} \in \left\{ 3,5,6\right\}}\)?

Nie, co najwyżej: \(\displaystyle{ \left\{ 3,5,6\right\} \subseteq \left\{ 3,5,6\right\}}\)
Elementami zbioru \(\displaystyle{ \{3,5,6\}}\) są trójka, piątka, szóstka i nic więcej. W szczególności więc \(\displaystyle{ \{3,4,5\}}\) nie jest elementem tego zbioru, czyli do niego nie należy.

Q.

[Jan Kraszewski]

Antynomia Russella mówi tak naprawdę o tym, że przyjęta przez Cantora definicja zbioru (Przez zbiór rozumiemy dowolną kolekcję \(\displaystyle{ M}\) składającą się z dobrze określonych, rozróżnialnych obiektów - nazywanych elementami kolekcji \(\displaystyle{ M}\) - które postrzegamy bądź są wytworami naszej myśli) ma defekt, bo kolekcja \(\displaystyle{ \{x:x\notin x\}}\) spełnia tę definicję (jej elementy są dobrze określonymi wytworami naszej myśli), a przyjęcie, że jest zbiorem prowadzi do sprzeczności.

JK

[jasiuu23]

Co do aksjomatu regularności to szwankuje mi intuicja:
\(\displaystyle{ \forall x\; \left(x\neq\emptyset \implies \exists y\; (y\in x \land y\cap x = \emptyset )\right)}\)

jeżeli powiedzmy weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) = \(\displaystyle{ \left\{ 2,5\right\}}\) i element 5 to
\(\displaystyle{ 5 \cap \{ 2,5 \} = 5}\), to jak na moje bezguście wspólnym elementem jest 5 nie zbiór pusty??

[Jan Kraszewski]

to \(\displaystyle{ 5 \cap \{ 2,5 \} = 5}\)

Cóż, jest to nieprawda. Co więcej, z punktu widzenia "zwykłej" matematyki ten zapis nie ma sensu.

Mieszasz dwa porządki: teorii mnogości naiwnej i aksjomatycznej. Aksjomat regularności należy do części aksjomatycznej, a zbiór \(\displaystyle{ \{2,5\}}\) w klasycznej interpretacji (jako zbiór dwóch liczb) - do naiwnej. W części aksjomatycznej jedynymi rozważanymi obiektami są zbiory - wszystkie obiekty matematyczne są interpretowane jako zbiory (w odróżnieniu od części naiwnej - tam \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 5}\) są liczbami, a nie zbiorami), w szczególności

\(\displaystyle{ \{2,5\}=\{\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\}\}\}}\)

JK