Indukcja dwa dowody

[Kriger22]

Witam,
ostatnio zacząłem się uczyć indukcji. Niestety napotkałem pewne problemy
Pierwszy dowód, nie wiem jak go dokończyć czy to może jest już koniec ?
Zadanie: Wykazać że prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ n! \ge 2^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N} \wedge n \ge 4}\)
To sprawdzamy dla 4
\(\displaystyle{ L=24}\) \(\displaystyle{ P =16}\) czyli zachodzi nierówność \(\displaystyle{ L \ge P}\)
zakładam dla n=k spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ k! \ge 2^{k}}\)
stawiam tezę \(\displaystyle{ (k+1)! \ge 2^{k+1}}\)
i ją "dowodzę":
\(\displaystyle{ k!*(k+1) \ge 2^{k+1}}\)
z założenia:
\(\displaystyle{ k!*(k+1) \ge k!*2}\)
\(\displaystyle{ (k+1) \ge 2}\)
\(\displaystyle{ k \ge 1}\)
no i co teraz, bo to raczej koniec jeszcze nie jest, a nie wiem co z tym dalej robić...
I drugie zadanie.
Wykazać że dla każdej liczby \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{ n^{n} } \le \frac{2}{ n^{2} }}\)
Drugie zadanie całkiem nie wiem jak ugryźć

Z góry thx za odpowiedzi

[akurczak]

1 Z założenia masz \(\displaystyle{ k \ge 4}\), czyli skończyłeś.
2 bym robił np. tak:
Sprawdzenie dla n=1 - zgadza się...
Zakładam, że dla pewnego k naturalnego jest spełnione:
\(\displaystyle{ \frac{k!}{k^{k}} \le \frac{2}{k^{2}}}\), \(\displaystyle{ k \ge 0}\), więc równoważnie \(\displaystyle{ \frac{k!}{2} \le \frac{k^{k}}{k^{2}}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{k!}{2} \le k^{k-2}}\).
Wtedy tezą jest \(\displaystyle{ \frac{(k+1)!}{2} \le (k+1)^{k-1}}\) zatem:
\(\displaystyle{ L = \frac{k! \cdot (k+1)}{2} \begin{tabular}{c} z zał \\ \le \end{tabular} (k+1) \cdot k^{k-2} \le (k+1) \cdot (k+1)^{k-2} = (k+1)^{k-1} =P}\), (druga nierówność zachodzi na pewno dla k>1, ale sprawdziliśmy już na początku n=1, na wszelki wypadek możesz też wyszczególnić na początku przypadek dla n=2), czyli \(\displaystyle{ L \le P}\) c.n.d.

[Jan Kraszewski]

stawiam tezę \(\displaystyle{ (k+1)! \ge 2^{k+1}}\)
i ją "dowodzę":
\(\displaystyle{ k!*(k+1) \ge 2^{k+1}}\)
z założenia:
\(\displaystyle{ k!*(k+1) \ge k!*2}\)
\(\displaystyle{ (k+1) \ge 2}\)
\(\displaystyle{ k \ge 1}\)

To niezbyt szczęśliwy sposób dowodzenia. Przekształcasz równoważnie tezę, więc żeby dowód zakończyć, musisz go jakoś skomentować. Lepiej jest zrobić tak:

\(\displaystyle{ (k+1)!=k!\cdot (k+1)\ge 2^k\cdot(k+1)\ge 2^{k+1}}\),

przy czy ostatnia nierówność wynika z faktu, że skoro \(\displaystyle{ k\ge 4}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ k+1\ge 2}\).

JK