Obszar normalny

Dzedor · Post autor: **Dzedor** » 20 cze 2011, o 17:36

Witam,

mam problem z pewnym zadaniem, prosiłbym o odpowiedź albo podpowiedź:)

Zbiór D jest domknięty i ograniczony krzywymi \(\displaystyle{ y = \left|x \right| , y = x^{2}}\)
1. czy jest to obszar normalny względem osi 0X/0Y?
2. czy całkując na nim musze go dzielić na 2 obszary?
3. czy f(x,y) = sin(xy) na D jest ograniczona? i dlaczego?

1. patrząc na definicje obszaru normalnego to powiedziałbym, że jest, ale coś mi się jednak nie podoba, jak to będzie?:D
2. wg. mnie tak
3. wg. mnie tak, bo jest to funkcja ciągła a D jest ograniczony, domknięty(tw. weiestrassa)

pozdrawiam

Natasha · Post autor: **Natasha** » 20 cze 2011, o 18:37

Obszar D jest normalny tylko względem OX (bo każda prosta o równaniu \(\displaystyle{ x=a}\) ma co najwyżej dwa punkty wspólne z brzegiem obszaru). Na rysunku widać, że nie trzeba dzielić, bo cały czas "wchodzimy" i "wychodzimy" tą samą funkcją.

Dzedor · Post autor: **Dzedor** » 20 cze 2011, o 18:46

ok, dzięki
a to, że jest normalny bo proste prostopadłe do OX mają co najwyżej 2 punkty wspólne to jest też definicja? czy to wynika z def?
a z tym dzieleniem, to co to znaczy?:P
będę miał \(\displaystyle{ x ^{2} \le y \le \left| x\right|}\) jak policzę później całkę jeżeli będę miał moduł w funkcji?:p

Natasha · Post autor: **Natasha** » 20 cze 2011, o 18:59

A nie. Sorry zrób rysunek i popatrz: trzeba podzielić, bo jak mamy \(\displaystyle{ -1 \le x \le 0}\), to wchodzimy \(\displaystyle{ x ^{2}}\) a wychodzimy \(\displaystyle{ -x}\), a jak \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\) , to wchodzimy \(\displaystyle{ x ^{2}}\) a wychodzimy \(\displaystyle{ x}\).

Napisałam Ci def obszaru normalnego względem OX.

Dzedor · Post autor: **Dzedor** » 20 cze 2011, o 19:15

ok, dziękuje bardzo, teraz wszystko jasne

jeszcze tylko mała wątpliwość, czy trójkąt np. o wierzchołkach (0,0), (1,2), (2,1) będzie obszarem normalnym? bo wg. tej definicji tak, ale nie da się go zapisać jako \(\displaystyle{ a \le x \le b \wedge f(x) \le y \le g(x)}\)

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 20 cze 2011, o 19:20

Natasha pisze:Obszar D jest normalny tylko względem OX (bo każda prosta o równaniu \(\displaystyle{ x=a}\) ma co najwyżej dwa punkty wspólne z brzegiem obszaru). Na rysunku widać, że nie trzeba dzielić, bo cały czas "wchodzimy" i "wychodzimy" tą samą funkcją.

Nie, obszar normalny względem osi OX to taki obszar, który da się zapisać jako \(\displaystyle{ a \le x \le b \wedge f(x) \le y \le g(x)}\). W sensie tej definicji trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), (1,2), (2,1)}\) nie jest obszarem normalnym względem którejkolwiek z osi.

Natasha · Post autor: **Natasha** » 20 cze 2011, o 19:22

Aha, to znaczy, że przez przypadek znalazłam kolejny błąd wykładowcy... Eh, ale opis taki znam.

Dzedor · Post autor: **Dzedor** » 20 cze 2011, o 19:35

ok, ale nadal biorąc pod uwagę tą definicje, obszar który podałem na początku jest obszarem normalnym względem OX?