Dowód pewnej własności

[porwany-obledem]

Wykazać że jeśli od pewnego \(\displaystyle{ N}\), dla każdego \(\displaystyle{ n>N}\) zachodzi \(\displaystyle{ a< \frac{x _{n}-x _{n-1} }{y _{n} -y _{n-1} } <b}\), to wówczas również \(\displaystyle{ a< \frac{x _{n}-x _{N} }{y _{n}-y _{N} } <b}\), o ile \(\displaystyle{ y _{n+1}>y _{n}}\)

[norwimaj]

Skoro \(\displaystyle{ y_{n+1}>y_n}\) (zakładam że dla każdego \(\displaystyle{ n>N}\), nie jest to jasno sformułowane), to możesz nierówność

\(\displaystyle{ a< \frac{x _{n+1}-x _{n} }{y _{n+1} -y _{n} } <b}\)

pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ y_{n+1}-y_n}\).

Mamy więc nierówności

\(\displaystyle{ a(y_{N+1}-y_{N})<x _{N+1}-x _{N}<b(y_{N+1}-y_{N})\\
a(y_{N+2}-y_{N+1})<x _{N+2}-x _{N+1}<b(y_{N+2}-y_{N+1})\\
a(y_{N+3}-y_{N+2})<x _{N+3}-x _{N+2}<b(y_{N+3}-y_{N+2})\\
\quad\vdots\\
a(y_{n}-y_{n-1})<x _{n}-x _{n-1}<b(y_{n}-y_{n-1})}\).

Po dodaniu tych nierówności stronami otrzymujemy tezę.

[porwany-obledem]

Dzięki ;]