Równania Bernoulliego

[motimoti]

Mam również problem z następującymi zadaniami:

\(\displaystyle{ 1)}\) \(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=y^{2}*\frac{lnx}{x}}\)
\(\displaystyle{ z=y^{-1}}\)
\(\displaystyle{ z'=\frac{-1}{y^{2}}y'}\)
\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=y^{2}*\frac{lnx}{x}/\frac{-1}{y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{y^{2}}y'-\frac{1}{x}*\frac{1}{y}=-\frac{lnx}{x}}\)
\(\displaystyle{ z'+z=\frac{lnx}{x}}\)
\(\displaystyle{ z'+z=0}\)
\(\displaystyle{ ln|z|=-x+C_{1}}\)
\(\displaystyle{ z=C_{2}*e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ z=C(x)e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ z'=C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ C'(x)=\frac{lnx}{x}*e^{x}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{lnx}{x}*e^{x}dx}\)

Tutaj mam problem z całką, jak ją rozwiązać?

\(\displaystyle{ 2)}\) \(\displaystyle{ 3y^{2}y'-y^{3}=x+1}\)
\(\displaystyle{ z=y^{-2}}\)
\(\displaystyle{ z'=-2y^{-3}y'}\)
\(\displaystyle{ 3y^{2}y'-y^{3}=x+1/-2y^{-5}}\)
\(\displaystyle{ -3*\frac{2}{y^{2}}y'+2*\frac{1}{y^{2}}=-\frac{2(x+1)}{y^{5}}}\)

Nie wiem jak posegregować?

\(\displaystyle{ 3)}\) \(\displaystyle{ y'cosx-ysinx=y^{4}}\)
\(\displaystyle{ y^{-3}}\)
\(\displaystyle{ z'=-3y^{-4}y'}\)
\(\displaystyle{ y'cosx-ysinx=y^{4}/-3y^{-4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{y^{4}}y'cosx+\frac{3}{y^{3}}simx=-3/cosx}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{y^{4}}y'+\frac{3}{y^{3}}tgx=\frac{-3}{cosx}}\)
\(\displaystyle{ z'+3ztgx=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z}z'=-3tgx}\)
\(\displaystyle{ ln|z|=3lncosx+C_{1}}\)
\(\displaystyle{ z=C_{2}3cosx}\)

Nie wiem czy to jest dobrze oraz nie wiem co dalej.

\(\displaystyle{ 4)}\) \(\displaystyle{ 2xyy'+x=y^{2}}\)
\(\displaystyle{ z=y^{-1}}\)
\(\displaystyle{ z'=\frac{-1}{y^2}y'}\)
\(\displaystyle{ 2xyy'+x=y^{2}\frac{-1}{y^3}}\)
\(\displaystyle{ 2x*\frac{-1}{y^2}y'+\frac{1}{y}=\frac{x}{y^{3}}}\)
\(\displaystyle{ -2xz'+z=\frac{x}{y^{3}}/x}\)
\(\displaystyle{ -2x^{2}z'+zx=y^{3}}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}dz=zxdx}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z}dz=\frac{1}{2x}}\)
\(\displaystyle{ ln|z|=\frac{1}{2}ln|x|+C_{1}}\)
\(\displaystyle{ z=C_{2}\frac{1}{2}x}\)
\(\displaystyle{ z=C(x)\frac{1}{2}x}\)
\(\displaystyle{ z=C'(x)\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}C(x)}\)

Coś mi tu nie wyszło bo podkładając do \(\displaystyle{ -2x^{2}z'+zx=y^{3}}\) nie redukuje mi się. Gdzie jest błąd?


\(\displaystyle{ 5)}\) \(\displaystyle{ 3y'+y*\frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}=\frac{x(3x^{2}-1)}{y^{2}(x^{2}-1)}}\)

Nie wiem jak tu zredukować.


Będę wdzięczna za każdą pomoc.

[mateuszek89]

jest tu trochę błędów. W 1 przypadku źle podstawiłaś zmienną, w drugim przykładzie nie wiem co się stało przy przejściu z 4 do 5 linijki. W trzecim źle policzyłaś pochodną itd. Rozwiążę 1 przykład i postaram się wytłumaczyć co robię;)
\(\displaystyle{ y^{'}+\frac{y}{x}=y^2 \cdot \frac{\ln x}{x}\\
z=y^{-1}\\
z^{'}=-y^{-2}y^{'}}\)
Teraz ja zawsze dzielę równania przez \(\displaystyle{ y^n}\), u nas \(\displaystyle{ n=2}\) czyli dostajemy:
\(\displaystyle{ y^{'}y^{-2}+\frac{1}{xy}=\frac{\ln x}{x}\\
-z^{'}+\frac{1}{x}\cdot z=\frac{\ln x}{x}}\).
Rozwiązuję równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ -z^{'}+\frac{1}{x}\cdot z=0\\
\ln |z|=\ln |x|+C_1\\
z=Cx \quad (*)}\)
Dalej rozwiązujemy równanie niejednorodne metodą uzmienniania stałej. Zakładamy, że rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ z=C(x) \cdot x}\). Wtedy \(\displaystyle{ z^{'}=C^{'}x+C}\).Wstawiamy:
\(\displaystyle{ -C^{'}x-C+\frac{1}{x}Cx=\frac{\ln x}{x}\\
-C^{'}x=\frac{\ln x}{x}\\
C=- \int \frac{\ln x}{x^2}}\)
Całkowanie przez części i wyjdzie. Pamiętaj o stałej. Dalej podstawiasz do (*) i pamiętasz, że \(\displaystyle{ z=y^{-1}}\). Rozwiązaniem jest oczywiście też \(\displaystyle{ y=0}\). Pozdrawiam!

[motimoti]

W drugim zadaniu źle napisałam przez co dziele, już poprawiłam zapis. Co dalej? W 3 również pominęłam w pisaniu minus, ale poprawiłam. Teraz chyba jest dobrze, tylko też dalej stoje w tym samym punkcie. Co z resztą zadań?

[mateuszek89]

najpierw aby dokonać podstawienia musisz mieć równanie bernoulliego czyli postaci: \(\displaystyle{ y^{'}+p(x)y+q(x)y^{n}=0}\)

[motimoti]

To wiem. Każdy z tych przykładów mam rozwiązać tą metodą.

[mateuszek89]

Dlatego w przykładzie 2 należy najpierw podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ 3y^2}\). Dalej już normalnie.

[motimoti]

Ok, to spróbuję tak to rozwiązać. A co z resztą? Trzecie dobrze zaczęłam? Gdzie w czwartym popełniłam błąd?-- 21 cze 2011, o 19:37 --Podbijam. Może ktoś pomóc z 3 i 4? Nadal nie wiem jak sobie z tym poradzić.