Wartość pochodnej wysokiego rzędu w punkcie

osob · Post autor: **osob** » 19 cze 2011, o 14:00

Mam za zadanie obliczyć wartości wyrażeń
\(\displaystyle{ f^{(13)} (0) \\ f^{(44)} (0)}\)
jeśli:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2}{2x^3 + 5}}\)
Przypuszczam, że należy użyć szeregu Taylora - tutaj wokół 0, więc chyba MacLaurina, jednak nie widziałem jak się rozwiązuje jakikolwiek przykład i nie wiem jak to zrobić .. Proszę o pomoc.

Ciamolek · Post autor: **Ciamolek** » 19 cze 2011, o 15:25

No... zróżniczkuj kilka razy... i są dwa wyjścia:
a) zróżniczkujesz 44 razy i znajdziesz wynik
b) zauważysz coś w trakcie tego różniczkowania i od razu podasz wynik (ale kilka razy warto zróżniczkować, żeby zobaczyć, co się dzieje).

Pozdrawiam,
Ciamolek

osob · Post autor: **osob** » 19 cze 2011, o 16:19

No jakby chcieć to zróżniczkować 44 razy to chyba by życia nie starczyło...
Chodzi mi właśnie o to co można zauważyć - nie wiem, co mam zauważyć, bo takiego przykładu nie widziałem.. Czy mógłby ktoś pokazać ?
Próbowałem pochodne do 3. rzędu i mi się odechciało.. wstawiłem w program policzyłem wiele więcej tych pochodnych i nic .. Ale właśnie chyba nie chodzi o to, żeby umieć trzaskać coraz to brzydszą pochodną, tylko żeby coś zauważyć ..
Co należy zauważyć ?...

alfgordon · Post autor: **alfgordon** » 19 cze 2011, o 16:28

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2x^3 + 5} =\frac{x^2 }{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} -(-x^3 )}=\frac{x^2 }{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{2x^3 }{5})}}\)

i teraz skorzystaj z szeregu potęgowego

Qń · Post autor: Qń » 19 cze 2011, o 16:30

Rzeczywiście, rada Ciamolka mocno nietrafiona. Sensownym sposobem jest wykorzystanie wzoru \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q}=\sum_{n=0}^{\infty}q^n}\). Mamy (dla odpowiednio małych \(\displaystyle{ x}\)):
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2x^3+5}=\frac{x^2}{5}\cdot \frac{1}{1-\left( -\frac 25 x^3 \right) }=\frac{x^2}{5}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\left( -\frac 25 x^3 \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac 15 \cdot \left( -\frac 25 \right)^n \cdot x^{3n+2}}\)
Wystarczy teraz porównać współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{44}}\) ze współczynnikiem który mamy ze wzoru Maclaurina.

Q.

alfgordon · Post autor: **alfgordon** » 19 cze 2011, o 16:33

Qń, nie rozumiem skąd masz w szeregu: \(\displaystyle{ x^{2n}}\)...

Qń · Post autor: Qń » 19 cze 2011, o 16:42

Chyba nie jest tak trudne do zrozumienia, że to literówka. Już poprawiłem.

Q.

osob · Post autor: **osob** » 19 cze 2011, o 17:24

Ok, to już rozumiem.. Dla 44 mi wynik wychodzi ok. Dla 13 powinno wyjść 0, a mi wychodzi:

\(\displaystyle{ 3n+2=13\\
n= \frac{11}{3} \\
\frac{ f^{(13)} (0)}{13!} = \frac{1}{5} * (\frac{-2}{5}) ^{ \frac{11}{3} }}\)

Co robię tu źle jeszcze ;/...

Ciamolek · Post autor: **Ciamolek** » 19 cze 2011, o 18:39

LOL! Przepraszam za wprowadzenie w błąd. (albo przynajmniej udzielenie zupełnie nieprzydatnej porady)

Z jakiegoś względu pomyślałem, że zauważymy jakiś rodzaj okresowości lub czegoś w tym rodzaju i wtedy szybko znajdzie się rozwiązanie. Oczywiście mój błąd.

Pozdrawiam,
Ciamolek

alfgordon · Post autor: **alfgordon** » 19 cze 2011, o 19:26

\(\displaystyle{ n}\) jest naturalne, więc nie znajdziesz takiego \(\displaystyle{ n}\) żeby spełniało równanie: \(\displaystyle{ 3n+2=13}\)

osob · Post autor: **osob** » 19 cze 2011, o 20:24

Racja ... w takim razie jak wyznaczyć nieparzystą pochodną .. ? np. tę 13. ?

alfgordon · Post autor: **alfgordon** » 19 cze 2011, o 20:25

skoro nie znajdziesz takiego \(\displaystyle{ n}\) to w tym szeregu nie znajdziesz takiej potęgi więc współczynnik jest równy \(\displaystyle{ 0}\)