Równanie różniczkowe

[animashi]

Witam, mam problem z dwoma równaniami różniczkowymi:

1. \(\displaystyle{ \left( \frac{\sqrt{y}}{x}-2 \right) \mbox{d}x + \left( \sqrt{\frac{x}{y}}+2 \right) \mbox{d}y=0}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }-2xy=x-x^{3}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Spektralny]

Drugie równanie pomnóż stronami przez czynnik całujący \(\displaystyle{ -x^2}\).

Wówczas

\(\displaystyle{ -x^2y = -\int(x^3-x^5)dx}\)

[lukasz1804]

Drugie równanie jest tak naprawdę liniowe (niejednorodne).

[animashi]

Dobrze, ale ciągle nie wiem, jak rozwiązać to równanie. Trzeba zastosować jakieś podstawienie, przenosić zmienne na jedną stronę?

[Spektralny]

To napisałem całkujesz po prawje stronie i dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ -x^2}\).

[animashi]

A jakiego sposodu używasz w tym przypadku, że całkujemy tylko jedna stronę równania?

[Spektralny]

Czynnik całkujący: szukamy takiej funkcji \(\displaystyle{ p(x)}\), że lewa strona, po przemnożeniu to pochodna \(\displaystyle{ (y(x)p(x))^\prime}\). Odcałkowując stronami, dostajemy:

\(\displaystyle{ y(x)p(x)=\int \ldots}\)

W naszym przypadku, \(\displaystyle{ p(x)=-x^2}\).