[Nierówności] znów nierównosc z analizy

[darek20]

pokaż ze dla \(\displaystyle{ x>2}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{{x+1}}>\frac{{\sin^{2}\left({\frac{\pi }{{2\left({x+1}\right)}}}\right)}}{{\sin^{2}\left({\frac{\pi }{{2x}}}\right)}}> 0}\)

[smigol]

\(\displaystyle{ \frac{{\sin^{2}\left({\frac{\pi }{{2\left({x+1}\right)}}}\right)}}{{\sin^{2}\left({\frac{\pi }{{2x}}}\right)}}> 0}\)

to jest chyba dość oczywiste. jako iloraz dwóch nieujemnych składników, przy czym dzielnik różny od zera.

[darek20]

ok a tę drugą nierówność

[Django]

W miarę sprytne: przekształc prawą stronę do takiej postaci:
\(\displaystyle{ (\frac{ \frac{ sin(\frac{\pi}{2x}) }{2x} }{ \frac{ sin(\frac{\pi}{2(x+1)}) }{2(x+1)} })^2 \cdot ( \frac{x}{x+1})^2}\). Teraz po przekształceniu łatwo spojrzec, że \(\displaystyle{ 1 > (\frac{ \frac{ sin(\frac{ \pi}{2x}) }{2x} }{ \frac{ sin(\frac{\pi}{2(x+1)}) }{2(x+1)} })^2 \cdot \frac{x}{x+1}}\). Ten stwór - ułamek z sinusami dąży do 1, bo w myśl twierdzenia \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{sinx}{x}=1}\). Taka postac występuje właśnie tu. \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}}\) dąży oczywiście do 1. A zatem, po lewej stronie 1, a po prawej wyrażenie dążące do 1, nie osiągające go.
Jeśli to rozwiązanie jest dobre (nie uważam się za eksperta od analizy), to można tezę poszerzyc... chyba działa już dla x>0 - ale mogę się tu pomylic, więc to tylko drobna dywagacja.
Pzdr
Drobny edit: wywaliłem z tego koszmarnego ułamka pi, która powinna byc w mianowniku każdego z dwóch ułamków zawierających funkcję sinus. Ale że będzie to postac tożsama z naszym cudakiem ( \(\displaystyle{ \frac{\pi}{\pi}=1}\)), to pozwoliłem sobie już jej nie zamieszczac.

[andkom]

Mamy pokazać, że dla x>2 zachodzi
\(\displaystyle{ x\sin^2\left(\frac\pi{2x}\right)>(x+1)\sin^2\left(\frac\pi{2(x+1)}\right)}\)
W tym celu wystarczy pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto x\sin^2\left(\frac\pi{2x}\right)}\) jest malejącą na przedziale \(\displaystyle{ (2,\infty]}\), a tego dowodzimy "tak, jak zawsze" - liczymy pochodną i wychodzi.

[pawels]

[...] A zatem, po lewej stronie 1, a po prawej wyrażenie dążące do 1, nie osiągające go. [...]

Nawet jeżeli ten syfny ułamek to rzeczywiście coś pokroju \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\), to z faktu że w okolicy zera spełniona jest jakaś nierówność nie wywnioskujesz natychmiast, że zachodzi ona na \(\displaystyle{ (2,\infty)}\)- zawsze można niby zbadać monotoniczność, ale jakoś wolę liczyć pochodną funkcji zaproponowanej przez andkom'a.

[Swistak]

Jeśli to rozwiązanie jest dobre (nie uważam się za eksperta od analizy), to można tezę poszerzyc... chyba działa już dla x>0 - ale mogę się tu pomylic, więc to tylko drobna dywagacja.

Nie wiem jak ty, ale ja nie lubię czarnych dziur ; p.