Przepraszam. Źle spojrzałem na licznik i mianownik i jakoś mi utrwaliło się w pamięci, że \(\displaystyle{ 10^n}\) jest w liczniku. z kryterium cauchy'ego chyba idzie. Podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 10^n}\) przy liczeniu granicy. Przepraszam jeszcze raz za niedopatrzenie.
Nie można bezkarnie z niektórymi \(\displaystyle{ n}\) przechodzić do granicy, a z innymi nie, inaczej dałoby się napisać: \(\displaystyle{ e=\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac 1n\right)^n =\lim_{n\to\infty} 1^n=\lim_{n\to\infty}1=1}\)
Jeśli przechodzimy do granicy, to od razu z wszystkimi.
Żeby skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, chcielibyśmy jakoś oszacować: \(\displaystyle{ \ldots \le \sqrt[n]{\frac{5^{n}+n^{3}}{10^{n}+n^{2}}} \le \ldots}\)
Nietrudno pokazać (na przykład indukcyjnie), że zachodzą nierówności \(\displaystyle{ n^3\le 5^n}\) oraz \(\displaystyle{ n^2\le 10^n}\). Tak więc stosowne szacowania to: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{5^{n}}{10^{n}+10^n}}\le \sqrt[n]{\frac{5^{n}+n^{3}}{10^{n}+n^{2}}} \le \sqrt[n]{\frac{5^{n}+5^n}{10^{n}}}}\)
Łatwo wykazać, że skrajne ciągi w tej nierówności dążą do \(\displaystyle{ \frac 12}\), a zatem środkowy również.
