O normie odwzorowania liniowego

[Pawelmns]

Cześć,
byłbym wdzięczny za pomoc w zrozumieniu dowodu poniższego twierdzenia:
__________________________________________________
Twierdzenie. Niech \(\displaystyle{ T \in L(X)}\). Istnieje granica \(\displaystyle{ r=\displaystyle\lim_{n\to\infty } ||T^n|| ^{\frac{1}{n}}}\)

Dowód. Oznaczmy \(\displaystyle{ t= \inf_{n} ||T^n||^{\frac{1}{n}}.}\) Dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ n \in N}\) takie, że

\(\displaystyle{ t \le ||T^m||^{\frac{1}{m}} \le t+\varepsilon.}\)

Niech \(\displaystyle{ n \in N}\). Mamy

\(\displaystyle{ n=qm+s,}\)

gdzie \(\displaystyle{ q \in N, s \in N \cup \{0\}, 0\le s\le m}\).

\(\displaystyle{ ||T^n||^{\frac{1}{n}}=||T^{qm+s}||^{\frac{1}{n}} \le ||T^{qm} \cdot T^s||^\frac{1}{n} \le ||T^{qm}||||T^s||^\frac{1}{n} = ||T^m||^{\frac{q}{n}}||T||^{\frac{s}{n}} \le \newline \le (t+ \varepsilon)^{\frac{qm}{n}} ||T||^{\frac{s}{n}}.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ 0\le s \le m}\), więc \(\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty }\frac{s}{n}=0.}\)
__________________________________________________
Nie rozumiem, dlaczego "ponieważ \(\displaystyle{ 0\le s \le m}\)"? Przecież tak jest przy każdym ustalonym s, a to, że \(\displaystyle{ 0\le s \le m}\) nie powinno chyba mieć tu nic do rzeczy?
__________________________________________________
Stąd

\(\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty } \frac{qm}{n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty } (1-\frac{s}{n})=1.}\)

Zatem \(\displaystyle{ \displaystyle\limsup_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n} \le 1 + \varepsilon}\),
_______________________________________________
Skąd mamy powyższą nierówność?
________________________________________________
a więc \(\displaystyle{ t \le \displaystyle\liminf_{n\to\infty} ||T^n||^{\frac{1}{n}} \le \displaystyle\limsup_{n\to\infty } ||T^n||^{\frac{1}{n}} \le t+\varepsilon}\)
________________________________________________
Ponownie, skąd biorą się powyższe nierówności?
________________________________________________
i w granicy przy \(\displaystyle{ \varepsilon\to 0}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ t=\displaystyle\liminf_{n\to\infty} ||T^n||^{\frac{1}{n}} \le \displaystyle\limsup_{n\to\infty } ||T^n||^{\frac{1}{n}},}\)

stąd istnieje granica \(\displaystyle{ \displaystyle\lim{n\to\infty}{||T^n||^{\frac{1}{n}}}.}\)
_________________________________________________

Z góry dzięki za odpowiedzi,
Pozdrawiam.

[xiikzodz]

Rozważam pytania chronologicznie. Mam nadzieję, że będzie jasne, o które chodzi.

\(\displaystyle{ s}\) to reszta z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ m}\). Jest to liczba zależna od \(\displaystyle{ n}\), lecz ograniczona z góry przez ustaloną liczbę \(\displaystyle{ m}\).

To jest dość sprytny zabieg. Znajdujemy takie \(\displaystyle{ m}\), że \(\displaystyle{ \|T^n\|^{\frac 1m}}\) jest bliskie \(\displaystyle{ t}\), następnie zasadniczo pokazujemy, że

\(\displaystyle{ \limsup_n\|T^n\|^{\frac 1n}=\limsup_{q\to\infty}\|T^{qm}\|^{\frac 1{qm}}}\).

A ta granica po prawej jest łatwiejsza do oszacowania.

***

Powinno być:

\(\displaystyle{ \displaystyle\limsup_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n} \le t + \varepsilon}\)

ta nierówność wynika z:

\(\displaystyle{ ||T^n||^{\frac{1}{n}}\le (t+ \varepsilon)^{\frac{qm}{n}} ||T||^{\frac{s}{n}}}\)

po potraktowaniu obu stron napisem \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}}\), który dla lewej strony jest zresztą tym samym, co \(\displaystyle{ \lim}\), bo prawa strona jest zbieżna.

***

Wcześniej osobno pokazane są nierówności:

\(\displaystyle{ t\le \displaystyle\inf_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \displaystyle\limsup_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n} \le t + \varepsilon}\)

które wspólnie (po zastosowaniu \(\displaystyle{ \inf\le\liminf\le\limsup\le\sup}\)) dają:

\(\displaystyle{ t\le\displaystyle\liminf_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n} \le \displaystyle\limsup_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n} \le t + \varepsilon}\).

Wobec dowolności \(\displaystyle{ \varepsilon}\) liczba nieujemna:

\(\displaystyle{ \displaystyle\limsup_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n} - \displaystyle\liminf_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n}}\)

jest niewiększa od dowolnej liczby dodatniej, a więc równa zeru. A to oznacza, że:

\(\displaystyle{ \displaystyle\limsup_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n} = \displaystyle\liminf_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n}}\)

i wobec tego

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n} =\displaystyle\limsup_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n} = \displaystyle\liminf_{n\to\infty } ||T^{n}||^\frac{1}{n}}\)

[Pawelmns]

OK, dzięki .

Pozdrawiam