[Planimetria] 4 trywialne planimetrie

[laurelandilas]

1. W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) punkty\(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są srodkami podstaw \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Przekatne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) tego trapezuy przecinaja sie w punkcie \(\displaystyle{ R}\), zas proste zawierajace ramiona \(\displaystyle{ AD}\) i\(\displaystyle{ BC}\)- w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Udowodnij, ze
a) punkty\(\displaystyle{ P,Q,R,S}\) sa wspoliniowe
b) \(\displaystyle{ |PQ|}\) jest srednia harmonczina \(\displaystyle{ |PR|}\) i \(\displaystyle{ |PS|}\)

2.Wewnatrz danego trojkata ostrokatnego \(\displaystyle{ ABC}\) obrano punkt \(\displaystyle{ D}\). Wiadomo, ze okrag opisany na trojkacie \(\displaystyle{ ABC}\) ma promien o dlugosci \(\displaystyle{ r}\). Udowodnij, ze jezeli okregi opisane na trojkatach \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ BCD}\) maja promienie o dlugosci \(\displaystyle{ r}\), to okrag opisany na trojkacie \(\displaystyle{ ACD}\) ma promien o dlugosci \(\displaystyle{ r}\).

3.Dany jest czworokat wypukly \(\displaystyle{ PQRS}\), ktorego przekatne \(\displaystyle{ PR}\) i \(\displaystyle{ QS}\) sa prostopadle i maja rowne dlugosci. Na bokach \(\displaystyle{ PQ,QR,RS, SP}\) tego czworokata zbudowano(na zewnatrz) cztery polokregi. Ktory z czworokatow o wierzcholkach \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) nalezacych do tych polokregow(kazdy wierzcholek do innego polokregu) i o bokach \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DA}\) przechodzacych przez wierzcholki \(\displaystyle{ P,Q,R,S}\) danego czworokata, ma najwieksze pole?

4.Odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) o dlugosci \(\displaystyle{ 1}\) przecnaja sie w punkcie \(\displaystyle{ O}\), przy czym \(\displaystyle{ \left| \sphericalangle AOC \right| = \frac{ \pi }{3}}\). Udowodnij, ze \(\displaystyle{ |AC| + |BD| \ge 1}\)

Dzieki z gory.

[pyzol]

1. Tu same podobieństwo trójkątów. Zacznij od rysowania przekątnych. Trójkąty \(\displaystyle{ ABR,CDR}\) są podobne, teraz możesz narysować, środkowe tych trójkątów i pobawić się kątami. Natomiast jeśli chodzi o punkt \(\displaystyle{ S}\) to zaś \(\displaystyle{ \Delta ABS\sim\Delta CDS}\). Co do średniej to chyba też się da coś z tym podobieństwem wymyślić.

[laurelandilas]

A czy da się udowodnic, ze punkt R należy do prostej PQ korzystajac z tzw. "miejsca geometrycznego", czyli, czy z faktu, ze trojkat ABR i CDR sa podobne nie wynika od razu praktycznie, ze R nalezy do prostej PS?

[K-mil]

Zad.4. Oznaczmy poszczególne odcinki przekątnych czworokąta ABCD jako a, b, c i d przy czym \(\displaystyle{ c = 1 - a}\) a \(\displaystyle{ d = 1 - b}\). Z twierdzenie cosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ AC = \sqrt{(a-b)^2+ab}}\) a \(\displaystyle{ BD = \sqrt{(a-b)^2+ab+1-(a+b)}}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ p= (a-b)^2+ab}\). Wtedy mamy udowodnić: \(\displaystyle{ \sqrt{p} + \sqrt{p+1-(a+b)} \ge 1}\) co po podniesieniu do kwadratu i po przekształceniach okazuje się prawdą (jeśli czegoś nie przeoczyłem )-- 18 cze 2011, o 16:24 --Zad.2. Oznaczmy środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\) przez punkt \(\displaystyle{ P}\) a środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ BCD}\) przez punkt \(\displaystyle{ Q}\). Odbijmy punkt \(\displaystyle{ P}\) symetrycznie od \(\displaystyle{ AD}\). tak samo odbijmy punkt \(\displaystyle{ Q}\) od odcinka \(\displaystyle{ DC}\). Otrzymany punkt oznaczmy jako \(\displaystyle{ K}\). Ponieważ \(\displaystyle{ QC=QD=PD=PA=r}\) więc także \(\displaystyle{ AK=DK=KC=r}\)