Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego równania:
\(\displaystyle{ (x-2xy-y ^{2} ) \frac{dy}{dx} +y ^{2}=0}\)
równanie różniczkowe Bernuliego
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 15:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 28 razy
równanie różniczkowe Bernuliego
To nie jest równanie Bernoulliego, a równanie, które trzebaby przerobić na równanie różniczkowe zupełne znajdując najpierw czynnik całkujący, trochę zabawy i potem z tym będzie... Napiszę w wolnej chwili! No chyba, że ktoś będzie pierwszy.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
równanie różniczkowe Bernuliego
To jest równanie liniowe
\(\displaystyle{ \left(x-2xy-y^2\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y^2=0\\
x-2xy-y^2+y^2\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=0\\
\left(1-2y\right)x-y^2+y^{2}\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=0\\
\frac{1-2y}{y^2}x-1+\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=0\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}+\frac{1-2y}{y^2}x=1\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=\frac{2y-1}{y^2}x\\
\frac{\mbox{d}x}{x}=\frac{2y-1}{y^2}\mbox{d}y\\
\ln{|x|}=2\ln{|y|}+\frac{1}{y}+C\\
x=Cy^2e^{\frac{1}{y}}\\
x\left(y\right)=C\left(y\right)y^2e^{\frac{1}{y}}\\
C^{\prime}\left(y\right)y^2e^{\frac{1}{y}}+C\left(y\right)e^{\frac{1}{y}}\left(2y-1\right)+C\left(y\right)e^{\frac{1}{y}}\left(1-2y\right)=1\\
C^{\prime}\left(y\right)y^2e^{\frac{1}{y}}=1\\
C^{\prime}\left(y\right)=\frac{1}{y^2}e^{-\frac{1}{y}}\\
C\left(y\right)=e^{-\frac{1}{y}}+C\\
x=y^2\left(1+Ce^{\frac{1}{y}}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(x-2xy-y^2\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y^2=0\\
x-2xy-y^2+y^2\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=0\\
\left(1-2y\right)x-y^2+y^{2}\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=0\\
\frac{1-2y}{y^2}x-1+\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=0\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}+\frac{1-2y}{y^2}x=1\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=\frac{2y-1}{y^2}x\\
\frac{\mbox{d}x}{x}=\frac{2y-1}{y^2}\mbox{d}y\\
\ln{|x|}=2\ln{|y|}+\frac{1}{y}+C\\
x=Cy^2e^{\frac{1}{y}}\\
x\left(y\right)=C\left(y\right)y^2e^{\frac{1}{y}}\\
C^{\prime}\left(y\right)y^2e^{\frac{1}{y}}+C\left(y\right)e^{\frac{1}{y}}\left(2y-1\right)+C\left(y\right)e^{\frac{1}{y}}\left(1-2y\right)=1\\
C^{\prime}\left(y\right)y^2e^{\frac{1}{y}}=1\\
C^{\prime}\left(y\right)=\frac{1}{y^2}e^{-\frac{1}{y}}\\
C\left(y\right)=e^{-\frac{1}{y}}+C\\
x=y^2\left(1+Ce^{\frac{1}{y}}\right)}\)
- elbargetni
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
równanie różniczkowe Bernuliego
elbargetni, nie do uzmiennienia stałej potrzebna jest znajomość
rozwiązania równania jednorodnego
i w 6. linijce zaczyna się jego rozwiązywanie
rozwiązania równania jednorodnego
i w 6. linijce zaczyna się jego rozwiązywanie
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 6 sie 2018, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
Re: równanie różniczkowe Bernuliego
czy mozliwe jest przejscie z pierwszej do drugiej linijki poprzez normalne opuszczenie nawiasu?
o ile sie nie myle to jest mnozenie przez dy
o ile sie nie myle to jest mnozenie przez dy