funkcje uwikłane

[thomson]

siemka mam kłopot z takim przykładem

\(\displaystyle{ y ^{''}+y ^{'}-2y=0}\)
tu chyba trzeba zastosować równanie Bernulliego(\(\displaystyle{ y ^{'}+a(x)y=b(x)y ^{L jako alfa}}\) ale nie bardzo wiem jak to robić
czy ktoś może to zrobić?

[Juankm]

Spróbuj zastosować podstawienie \(\displaystyle{ y(x)=e^{u(x)}}\).

[thomson]

zaraz policzę i zobaczę jak wyjdzie-- 14 cze 2011, o 19:38 --a zapisanie tego w taki sposób

\(\displaystyle{ y''=u'(x)}\)?

[Juankm]

Postaraj się z całą starannością policzyć kolejne pochodne funkcji \(\displaystyle{ y}\) po \(\displaystyle{ x}\)-ie ! Pamiętaj, że teraz \(\displaystyle{ y}\) to funkcja złożona wynosząca \(\displaystyle{ e^{u(x)}}\).
Podpowiedź:
\(\displaystyle{ y\prime (x)=\overbrace{e^{u(x)}}^{pochodna \ zewnetrzna} \cdot \underbrace{u\prime (x)}_{pochodna \ wewnetrzna}}\)

[thomson]

a dla
\(\displaystyle{ y''=e ^{u(x)}*u'(x)*(u''(x)+u'((x)'))}\)
?

pewnie źle myślę, ale zupełnie tego nie czuje

[Juankm]

Spokojnie, przemyśl np. to:

1) \(\displaystyle{ \overbrace{\sin \prime(x^2)= [\sin(x^2)]\prime = \frac{d\sin(x^2)}{d \ x}}^{kwestia \ zapisu, \ to \ wszystko \ jest \ rownowazne}=\overbrace{\frac{d\sin(x^2)}{d \ x^2}}^{1} \cdot \overbrace{\frac{d \ x^2}{d \ x}}^{2}=\overbrace{\cos(x^2)}^{1}\cdot \overbrace{2x}^{2}}\)

2) \(\displaystyle{ (\sin^2(x))\prime=\frac{d \sin^2(x)}{d \ x}=\frac{d \sin^2(x)}{d \sin(x)} \cdot \frac{d \sin(x)}{d \ x} \cdot \frac{d \ x}{d \ x}=2\sin(x) \cdot \cos(x) \cdot 1}\)

3) \(\displaystyle{ (\sin^2(x^2))\prime=\frac{d \sin^2(x^2)}{d \ x} =\frac{d \sin^2(x^2)}{d \sin(x^2)} \cdot \frac{d \sin(x^2)}{d \ x^2} \cdot \frac{d \ x^2}{d \ x}=2\sin(x^2) \cdot \cos(x^2) \cdot 2x}\)