Pierścień dowolnej mocy

lukasz_650 · Post autor: **lukasz_650** » 13 cze 2011, o 14:06

Czy w każdym niepustym zbiorze \(\displaystyle{ A}\) można określić działania dodawania i mnożenia, tak aby zbiór \(\displaystyle{ A}\) wraz z tymi działaniami był pierścieniem?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 13 cze 2011, o 15:55

Dla zbiorów skończonych to oczywiste, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\).

Nie jestem pewien jak jest w ogólności. Pewnie trzeba skorzystać z tw. Zermelo albo z jakiejś innej złej rzeczy.

max · Post autor: **max** » 13 cze 2011, o 21:46

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony, to \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{2}[x_{a}\ : \ a\in A]}\) (pierścień wielomianów nad dwuelementowym ciałem o zmiennych indeksowanych elementami zbioru \(\displaystyle{ A}\)) jest równoliczny z \(\displaystyle{ A}\).

Niewiele trudniej jest pokazać, że dla dowolnego nieskończonego zbioru istnieje równoliczne z tym zbiorem ciało algebraicznie domknięte z góry ustalonej charakterystyki.

Jeśli ktoś lubi duże twierdzenia i uogólnienia, to może mu się spodobać twierdzenie , które z grubsza gwarantuje ten sam wynik dla teorii wyrażalnych w języku pierwszego rzędu, czyli np: porządków (liniowych, gęstych), grup (abelowych, podzielnych, uporządkowanych), pierścieni (przemiennych, z dzieleniem, uporządkowanych), ciał (algebraicznie domkniętych ustalonej charakterystyki, uporządkowanych, rzeczywiście domkniętych), modułów nad ustalonym pierścieniem etc., o ile tylko wskażemy jeden model odpowiednio dużej mocy (w większości wypisanych tu przypadków wystarczy żeby był nieskończony).

lukasz_650 · Post autor: **lukasz_650** » 14 cze 2011, o 00:39

Dzięki ale na egzaminie, podczas którego było to jedno z wielu zadań do rozwiązania, ciężko było na to wpaść...