Grupy, grupa multyplikatywna, podgrupy

[lunatyk]

1. Czy poniższą tabelkę da się uzupełnić tak, aby trójelementowy zbiór {a, b, c} z działaniem opisanym tabelką stanowił grupę?

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{| c | c | c | c |}
\hline
\textbf{X} & \textbf{a} & \textbf{b} & \textbf{c} \\
\hline
\textbf{a} & a & b & c \\
\hline
\textbf{b} & b & a & _ \\
\hline
\textbf{c} & c & _ & _ \\
\hline
\end{tabular}}\)

2. Wypisz wszystkie podgrupy grupy: \(\displaystyle{ (Z_{8}, +_{8})}\)
3. Niech G będzie grupą multyplikatywną. H - jej podgrupą. O elementach a, b zbioru G mówimy, że są sprzężone jeśli istnieje taki element g zbioru H, że:
\(\displaystyle{ a=gbg^{-1}}\)
Wykaż, że relacja sprzężenia jest relacja równoważnościową.

[Zordon]

1. Nie da sie. Mamy \(\displaystyle{ bc=c}\), bo odwzorowanie \(\displaystyle{ x\mapsto bx}\) jest bijekcją.
Mamy zatem \(\displaystyle{ c=ac=bc}\) czyli \(\displaystyle{ a=b}\).

[lunatyk]

Zadanie 2 to będzie:

\(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}}\) dodawanie modulo 8

\(\displaystyle{ 1, 1+1=2, 1+1+1=3, 1+1+1+1=4, 1+1+1+1+1=5, 1+1+1+1+1+1=6, 1+1+1+1+1+1+1=7}\)
czyli cała grupa Z

\(\displaystyle{ 2, 2+2=4, 2+2+2=6, 2+2+2+2=0, 2+2+2+2+2=2 ...}\)
czyli podgrupa: \(\displaystyle{ \left\{ 0, 2, 4, 6\right\}}\)

\(\displaystyle{ 3, 3+3=6, 3+3+3=1, 3+3+3+3=4, 3+3+3+3+3=7, 3+3+3+3+3+3=2, 3+3+3+3+3+3+3=5, 3+3+3+3+3+3+3+3=0}\)
czyli podgrupa: \(\displaystyle{ \left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}}\) czyli cała grupa Z

\(\displaystyle{ 4, 4+4=0, 4+4+4=4, 4+4+4+4=0 ...}\)
czyli podgrupa: \(\displaystyle{ \left\{ 0, 4\right\}}\)

\(\displaystyle{ 5, 5+5=2, 5+5+5=7, 5+5+5+5=4, 5+5+5+5+5=1, 5+5+5+5+5+5=6, 5+5+5+5+5+5+5=3, 5+5+5+5+5+5+5+5=0, 5+5+5+5+5+5+5+5+5=5 ...}\)
czyli podgrupa: \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}}\) czyli cała grupa Z

\(\displaystyle{ 6, 6+6=4, 6+6+6=2, 6+6+6+6=0, 6+6+6+6+6=6...}\)
czyli podgrupa: \(\displaystyle{ \left\{ 0, 2, 4, 6\right\}}\)

\(\displaystyle{ 7, 7+7=6, 7+7+7=5, 7+7+7+7=4, 7+7+7+7+7=3, 7+7+7+7+7+7=2, 7+7+7+7+7+7+7=1, 7+7+7+7+7+7+7+7=0, 7+7+7+7+7+7+7+7+7=7...}\)

czyli podgrupa: \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}}\) czyli cała grupa Z


Reasumując
Podgrupy \(\displaystyle{ (Z_{8}, +_{8})}\) to:

\(\displaystyle{ \left\{0\right\}}\), \(\displaystyle{ \left\{ 0, 4\right\}}\), \(\displaystyle{ \left\{ 0, 2, 4, 6\right\}}\) i Z
______________________________________________________

Dobrze to rozwiązałem?

-- 13 czerwca 2011, 19:49 --

1. Nie da sie. Mamy \(\displaystyle{ bc=c}\), bo odwzorowanie \(\displaystyle{ x\mapsto bx}\) jest bijekcją.
Mamy zatem \(\displaystyle{ c=ac=bc}\) czyli \(\displaystyle{ a=b}\).

Właśnie dostałem informację, że mój profesor od algebry abstrakcyjnej mówił, że rozwiązanie tego problemu to:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{| c | c | c | c |}
\hline
\textbf{X} & \textbf{a} & \textbf{b} & \textbf{c} \\
\hline
\textbf{a} & a & b & c \\
\hline
\textbf{b} & b & a & c \\
\hline
\textbf{c} & c & b & a \\
\hline
\end{tabular}}\)

Czy to prawda?

[Rogal]

Tak, tylko wtedy a=b=c, co się nieco mija z celem pisania takiej tabliczki.

[lunatyk]

a moglibyście mi tak ogólnie wytłumaczyć o co chodzi w tej tabliczce? Bo nie bardzo kumam

[Rogal]

To jest tabliczka mnożenia po prostu.
Wypisujesz w wierszu i kolumnie elementy i na przecięciu piszesz wynik ich iloczynu.
Jednak nie robisz tego byle jak, bo chcesz, by elementy te wraz z tak zdefiniowanym mnożeniem były grupą, czyli obiektem o porządnych własnościach.
W tym przypadku łatwo stwierdzić, że tak napoczętej tabelki się nie da uzupełnić, bo jedyną grupą trójelementową jest \(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_{3},+)}\), a w niej 1+1 nie jest 0 (możesz traktować u siebie a = 0, b = 1, c = 2)

[Zordon]

Jest wyraźnie napisane

trójelementowy zbiór

, więc Twój profesor się myli.
Zresztą dla mnie dziwnym jest, że zamiast przeanalizować moje (poprawne) rozumowanie, wolisz ufać wersji, że ktoś komuś kiedyś powiedział, że podobno profesor powiedział...

[lunatyk]

Ale ja tego nie rozumiem. Mam tę tabelkę i widzę w niej:
\(\displaystyle{ a \times a = a}\)
\(\displaystyle{ b \times b = a}\)
\(\displaystyle{ a \times b = b}\)
\(\displaystyle{ a \times c = c}\)

i nie mam pojęcia, co mi to mówi.. Jak mogę więc weryfikować Twoje rozwiązanie?

[nnnmmm]

A dlaczego w zadaniu pierwszym nie może być\(\displaystyle{ a=b}\)? Potem jak się policzy wartość dla kolejnych liczb to taka tabelka będzie spełniać wszystkie aksjomaty grupy, więc co jest nie tak?

Doczytałem, że jest to trójelementowy zbiór i jak ułoży się tą tabelkę to wyjdzie, że \(\displaystyle{ a=b=c}\). Czyli tak jakby był to jednoelementowy zbiór. Czy o to chodzi?