Czy można do ciągów stosować regułę de l'Hospitala?

Barca · Post autor: **Barca** » 15 lis 2006, o 14:51

Chodzi mi konkretnie o przykład:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}n[ln(n)-ln(n+2)]}\)

Stosując regułę otrzymuję wynik -2, czyli taki jak mam w odpowiedzi z tyłu książki. A może da się to jakoś inaczej zrobić?

Ok, wpadłem już na pomysł:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}[ln\frac{n}{n+2}]^n=\lim\limits_{n\to\infty}ln\frac{1}{(1+\frac{2}{n})^n}}\)
i dalej z liczby e. Wynik ten sam co z de l'Hospitala czyli -2. Więc można czy nie można stosować. Proszę o odpowiedź. Dziękuję.

greey10 · Post autor: **greey10** » 15 lis 2006, o 15:37

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}[ln\frac{n}{n+2}]^n=\lim\limits_{n\to\infty}ln\frac{1}{(1+\frac{2}{n})^n}}\)

ciekawe przeksztalcenie ~_^

ogolnie mowiac zeby zastosowac d'hospitala to musza byc spelnione nastepujace warunki
licznik i mianownik daza do zera lub do nieskonczonosci lub jeden do zera a drugi do nieskonczonosci a noi jak ci nie wyjdzie nic z d'hospitala to to nie znaczy ze ciag nie ma granicy

Barca · Post autor: **Barca** » 15 lis 2006, o 17:22

greey10 pisze:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}[ln\frac{n}{n+2}]^n=\lim\limits_{n\to\infty}ln\frac{1}{(1+\frac{2}{n})^n}}\)
ciekawe przeksztalcenie ~_^

ogolnie mowiac zeby zastosowac d'hospitala to musza byc spelnione nastepujace warunki
licznik i mianownik daza do zera lub do nieskonczonosci lub jeden do zera a drugi do nieskonczonosci a noi jak ci nie wyjdzie nic z d'hospitala to to nie znaczy ze ciag nie ma granicy

Ciekawe, nieciekawe ale poprawne

. Co to znaczy jak mi nic nie wyjdzie??

. Jeżeli po policzeniu pochodnych dalej mamy symbol nieoznaczony to można dalej próbować

.

Post autor: **Undre** » 15 lis 2006, o 17:27

Hm ... de l'Hospitala do ciągów ? Nie można

Barca · Post autor: **Barca** » 15 lis 2006, o 17:27

Dlaczego

? Ciąg to też funkcja. Wiesz, z granicami to jest tak, że jak masz lim przy n dążącym do nieskończoności 1/n i lim x dążącym do nieskończoności 1/x to granica jest taka sama. W tym przykładzie zastosowałem de l'Hospitala i granica o zdziwko wychodzi ta sama

.

MGT · Post autor: **MGT** » 15 lis 2006, o 23:33

Możesz stosować tę regułę, jeśli zdefiniujesz odpowiednią funkcję. Tj. taka sztuczka, aby móc zastosować regułę dla ciągu

Barca · Post autor: **Barca** » 16 lis 2006, o 11:48

Dziękuję, za rzeczową odpowiedź.