Objętość części walca

[Jaca91]

Ok. To już rozumiem. Możesz jeszcze rozpisać przejście na współrzędne biegunowe?
\(\displaystyle{ 0 \leqslant r \leqslant 3}\)
\(\displaystyle{ 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi}\)

Jakie funkcje wstawić w te całki?

[aalmond]

Promień koła jest równy \(\displaystyle{ 3}\). a kąt \(\displaystyle{ <0, \pi>}\) to dwie pierwsze ćwiartki ukł. wsp. czyli górna połowa koła

[Jaca91]

Ok. Ale chodzi mi o funkcje podcałkowe. Jak będą wyglądać całki po przejściu na współrzędne biegunowe. Jak do tego dojść.

[aalmond]

Funkcją podcałkową jest: \(\displaystyle{ z = y}\). Za \(\displaystyle{ y}\) wstawiamy \(\displaystyle{ rsin \alpha}\). Uwzględniamy jakobian (wyznacznik z pochodnych). Tutaj jest on równy \(\displaystyle{ r}\). Czyli:
\(\displaystyle{ r \cdot rsin \alpha = r^{2} sin \alpha}\)

[Jaca91]

I o to mi chodziło. Dziękuję bardzo za zaangażowanie i pomoc!-- 9 cze 2011, o 14:35 --Proszę jeszcze o sprawdzenie poprawności całki:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}d\alpha \int_{0}^{3}r^{2}\sin \alpha dr = \int_{0}^{\pi}9\sin \alpha d\alpha = 9[-\cos \alpha]_{0}^{\pi} = 9(-\cos \pi + \cos 0) = 18}\)

[chris_]

dobrze policzone