Objętość części walca

[Jaca91]

Obliczyć objętość części walca \(\displaystyle{ x^2+y^2=9}\) ograniczonego z dołu płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\), a zgóry płaszczyzną \(\displaystyle{ z=y}\).

Nie wiem czy dobrze wybrałem obszar całkowania \(\displaystyle{ D=\lbrace x,y : -3\leqslant x \leqslant 3 , 0\leqslant y \leqslant 3 \rbrace}\)

wyznaczam \(\displaystyle{ y = \sqrt{9-x^{2}} = z}\)

Rozpisuję całkę podwójną:
\(\displaystyle{ V= \int_{-3}^{3}dx \int_{0}^{3}\sqrt{9+x^{2}}dy}\)

Czy do tej pory dobrze?-- 8 cze 2011, o 17:55 --Ktoś pomoże?

[chris_]

źle

Obszarem całkowania jest koło o środku w początku układu współrzędnych oraz promieniu 3. Możesz to zapisać bez przechodzenia na inne współrzędne tak:

\(\displaystyle{ \int_{-3}^{3}dx \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}}ydy}\)

Lub ułatwić sobie sprawę i przejść na współrzędne biegunowe.

Ogólnie objętość bryły liczymy tak:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy}\)

Gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest podstawą bryły, a \(\displaystyle{ f(x,y)}\) ogranicza bryłę z góry. Tutaj funkcją ograniczającą jest \(\displaystyle{ z = f(x,y) = y}\)

[Jaca91]

Czyli granice dla pierwszej całki wybrałem dobrze. Ale skąd się wzięły takie granice dla całki po dy? Mógłbyś rozpisać to (bardziej zobrazować) czemu y mieści się akurat w tym przedziale?

[aalmond]

W tej sytuacji lepiej przejść na współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ x = rcos \alpha \\
y = rsin \alpha \\}\)
Jakobian przekształcenia równa się \(\displaystyle{ r}\)
Całka wygląda tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi } d \alpha \int_{0}^{3} r^{2}sin \alpha dr}\)

[Jaca91]

Wszystko ładnie pięknie, ale nie wiem jak określić obszar całkowania dla normalnych współrzędnych. Jeżeli sobie narysuję koło o środku w początku układu współrzędnych w płaszczyźnie z=0, to x może przyjmować wartości od -3 do 3 i y tak samo? Bo tego nie widzę.
Ok przy współrzędnych biegunowych widzę że r musi być większy od 0. A czemu kąt o 0 do \(\displaystyle{ \pi}\) ?

[aalmond]

Całkujesz po połowie koła:
\(\displaystyle{ -3 \le x \le 3}\)
\(\displaystyle{ 0 \le y \le \sqrt{9- x^{2} }}\)

[chris_]

Czyli granice dla pierwszej całki wybrałem dobrze. Ale skąd się wzięły takie granice dla całki po dy? Mógłbyś rozpisać to (bardziej zobrazować) czemu y mieści się akurat w tym przedziale?

Ty przyjąłeś, jako obszar całkowania prostokąt gdzie \(\displaystyle{ x \in \left[ -3,3\right]}\), \(\displaystyle{ y \in \left[ 0,3\right]}\). Co w żaden sposób nie odnosi się do okręgu.

Pozwól, że zobrazuję Ci skąd wziąłem te granice:


Oczywiście radze iść za radą kolegi aalmond i obliczyć tak jak on to zaproponował.-- 8 cze 2011, o 19:12 --

Całkujesz po połowie koła:
\(\displaystyle{ -3 \le x \le 3}\)
\(\displaystyle{ 0 \le y \le \sqrt{9- x^{2} }}\)

Czemu po połowie? W poleceniu nie ma o tym mowy.

[Jaca91]

Ok, rysunek dużo wyjaśnił. Teraz jeszcze tylko: czemu bierzemy \(\displaystyle{ y\geqslant 0}\)?

[aalmond]

Podstawa tej części walca to "górna" połowa koła.

[chris_]

Podstawa tej części walca to "górna" połowa koła.

Wyjaśnij, czemu się przy tym upierasz? Gdzie w poleceniu jest to narzucone?

-- 8 cze 2011, o 19:20 --

Ok, rysunek dużo wyjaśnił. Teraz jeszcze tylko: czemu bierzemy \(\displaystyle{ y\geqslant 0}\)?

Granice we współrzędnych kartezjańskich będą wyglądać tak jako podałem wcześniej w całce. Kolga ubzdurał sobie, że całka ma być tylko nad połową okręgu. No chyba, że zna polecenie lepiej niż Ty.

[Jaca91]

Podstawą tego walca jest okrąg o promieniu 3 leżący w płaszczyźnie z=0 o środku w pkt(0,0,0).
Tylko czemu wcześniej zapisałeś drugą całkę \(\displaystyle{ \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}}ydy}\) ? Więc jak to w końcu policzyć bo już zgłupiałem?

[aalmond]

jest ograniczenie z dołu płaszczyzną \(\displaystyle{ z = 0}\), a płaszczyzna \(\displaystyle{ z = y}\) odetnie drugą połowę koła

[chris_]

A racja, co za gafa :/

zwracam honor

Jeżeli ma to być bryła tylko między \(\displaystyle{ z = 0}\) i \(\displaystyle{ z = y}\) to obszarem całkowania będzie pół koła

[Jaca91]

Ok. Powiedzmy, że się wyjaśniło. Teraz jeszcze odnośnie przejścia na współrzędne biegunowe. Pierwsza całka, ok rozumiem. Ale jaką wziąć funkcję podcałkową do całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{3}}\) ?

[aalmond]

ograniczeniem od dołu jest \(\displaystyle{ z=0}\), dla \(\displaystyle{ y<0}\) płaszczyzna \(\displaystyle{ z = y}\) będzie pod płaszczyzną \(\displaystyle{ z = 0}\)