Zbiornik i woda

[`vekan]

Zbiornik o pojemności 100 litrów napełniony jest do połowy czystą wodą. Po włączeniu pomp do zbiornika wlewa się 10% wodny roztwór soli z prędkością 2 l/min, a powstała mieszanina wylewa się dwa razy wolniej. Jakie będzie stężenie soli w zbiorniku w chwili jego napełnienia?

[Hamster]

Gdyby się chodziło na wykład z równań różniczkowych do pana M. to by się wiedziało jak rozwiązać to zadanie

Sorki za OT.

[Zieziu]

Proszę o pomoc w tym zadanku bo znowu się pojawiło.

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ m(t): \text{czas [min.]} \mapsto \text{masa soli [kg]}.}\)

W każdym momencie w zbiorniku przybywa soli z prędkością

\(\displaystyle{ \frac{2 \mathrm{kg}}{1 \mathrm{min.}} \cdot \frac{10 \%}{100 \%}=\frac{1 \mathrm{kg}}{5 \mathrm{min.}}}\)

oraz ubywa z prędkością

\(\displaystyle{ \frac{1 \mathrm{kg}}{1 \mathrm{min.}} \cdot \frac{m(t)}{m_w(t)},}\)

gdzie \(\displaystyle{ m_w(t)=50 \mathrm{kg}+ \frac{1 \mathrm{kg}}{1 \mathrm{min.}} \cdot t.}\)

Wystarczy więc rozwiązać równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ \frac{\mathrm dm(t)}{\mathrm dt} = \frac{1 \mathrm{kg}}{5 \mathrm{min.}} - \frac{1 \mathrm{kg}}{1 \mathrm{min.}} \cdot \frac{m(t)}{50 \mathrm{kg}+ \frac{1 \mathrm{kg}}{1 \mathrm{min.}} \cdot t}}\)

co pomijając chwilowo jednostki można zapisać jako

\(\displaystyle{ \frac{\mathrm dm(t)}{\mathrm dt} = \frac{1}{5} - \frac{m(t)}{50+t},}\)

z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ m(0)=0.}\)

[Zieziu]

Witam

Mniej więcej kumam.

W celu porządnego zrozumienia poprosiłbym o rozwiązanie podobnego zadania ale zamieńmy zawartość zbiornika z medium napełniającym zbiornik. Mianowice:

Zbiornik o pojemności 100 litrów napełniony jest do połowy 10% roztworem soli. Po włączeniu pomp do zbiornika wlewa się woda z prędkością 2 l/min, a powstała mieszanina wylewa się dwa razy wolniej. Jakie będzie stężenie soli w zbiorniku w chwili jego napełnienia?

Dzięki
Pozdrawiam Paweł