tw. o różniczkowaniu - wyznaczyć sumę szeregu

[junior15]

Mam wyznaczyć sumę następującego szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{n(n+1)}{4 ^{n} }}\). Stosując wzór \(\displaystyle{ \sum_{0}^{ \infty } x^{n}= \frac{1}{1-x}}\), późniejszym podstawieniu \(\displaystyle{ x=t^{n+1}}\) i zróżniczkowaniu otrzymuje postać: \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } (n^{2}+n)t^{n^{2}+n}= \frac{(n+1)t ^{n+1} }{(1-t^{n+1})^2}}\). I mój problem polega na tym, że gdy chcę wrócić do postaci z x po prawej stronie pozostaje mi oprócz samych x , (\(\displaystyle{ n+1}\)). Jak się tego pozbyć?

[alfgordon]

\(\displaystyle{ \sum \left( \frac{x}{4} \right)^{n} =\frac{4}{4-x}}\)

mnożę przez \(\displaystyle{ x}\) :
\(\displaystyle{ \sum \frac{x^{n+1}}{4^{n}} =x \cdot \frac{4}{4-x}}\)

i teraz dwa razy zróżniczkować i wstawić \(\displaystyle{ x=1}\)

[junior15]

tylko, że jak różniczkuje 2 raz to wychodzi mi z lewej str \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{-[( (\frac{x}{4})^n+n(n+1) (\frac{x}{4})^{(n-1)}] }{16}}\) , a to nie bardzo się zgadza z tym wyjściowym.

EDIT: Mój błąd, źle zróżniczkowałem, sory