[Nierówności][Planimetria] Wysokości dowolnego trójkąta

lukasius · Post autor: **lukasius** » 11 lis 2006, o 16:30

Mam problem z nastepującym zadaniem:
Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ h_{1} , h_{2} , h_{3}}\) są wysokościami dowolnego trójkata, to zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{1}{h_{2}} - \frac{1}{h_{3}} < \frac{1}{h_{1}} < \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{3}}}\)

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 11 lis 2006, o 16:33

Mozesz dokonczyc tresc?

Rzeszut · Post autor: **Rzeszut** » 13 lis 2006, o 15:59

Nietrudno zauważyć, że liczby \(\displaystyle{ \frac1{h_1},\frac1{h_2},\frac1{h_3}}\) są bokami pewnego trójkąta (wystarczy pomnożyć je wszystkie przez \(\displaystyle{ 2S}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest polem tego trójkąta, którego są wysokościami). Wtedy nierówność do udowodnienia jest po prostu nierównością trójkąta dla trójkąta o bokach \(\displaystyle{ \frac1{h_1},\frac1{h_2},\frac1{h_3}}\).