Rożnowartościowe przekształcenie odwrotne.

[MonikaBulwar]

Niech L będzie przekształceniem liniowym przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n} na R^{n}}\). Udowodnij, że wtedy L ma różnowartościowe przekształcenie odwrotne.

Dziękuję za wszelką pomoc

[JankoS]

Można tak.
Z warunków zadania L jest surjekcją (różnowartościowe i na), a więc istnieje odwzorowanie odwrotne \(\displaystyle{ L^{-1} \ R^n \ na \ R^n.}\)
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ L ^{-1}}\) nie jest różnowartościowe, czyli że istnieją \(\displaystyle{ x,y,z \in R^n}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq y \ i \ z=L ^{-1}(x)=L^{-1}(y).}\) Wtedy \(\displaystyle{ L(z)=L(L ^{-1}(x))=L(L^{-1}(y)) \Rightarrow x=y.}\) To ostatnie jest sprzeczne z tym, że \(\displaystyle{ x \neq y.}\) Przypuszczenie, że \(\displaystyle{ L^{-1}}\) nie jest funkcją różnowartościową doprowadziło do sprzeczności, a więc jest fałszywe i \(\displaystyle{ L^{-1}}\) jest różnowartościowe.

[Max1414]

Na jakiej podstawie tutaj możemy stwierdzić, że L jest różnowartościowe?

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ e_1,\ldots,e_n}\) będzie bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Wtedy obraz przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) jest rozpięty na wektorach \(\displaystyle{ Le_1,\ldots,Le_n}\).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ L}\) nie jest różnowartościowe, czyli istnieją \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}^n}\), takie że \(\displaystyle{ Lx=Ly}\), ale \(\displaystyle{ x\ne y}\). Wtedy \(\displaystyle{ L(x-y)=0}\). Zapiszmy wektor \(\displaystyle{ x-y}\) jako kombinację liniową wektorów z bazy:
\(\displaystyle{ x-y=a_1e_1+\ldots+a_ne_n}\).

Wtedy
\(\displaystyle{ 0=L(x-y)=a_1Le_1+\ldots+a_nLe_n}\).

Mamy nietrywialną kombinację liniową dającą zero, czyli zbiór \(\displaystyle{ Le_1,\ldots,Le_n}\) nie jest liniowo niezależny. Zatem jeden z wektorów można usunąć i widzimy że obraz jest rozpięty na \(\displaystyle{ n-1}\) wektorach, więc jest mniej niż \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowy. Sprzeczność.