Prosta l, do której należy punkt A przecina parabolę

[bliznieta07129]

Prosta l, do której należy punkt A = (2, 5), przecina parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y = x ^{2}}\)w dwóch różnych punktach \(\displaystyle{ B = (x _{1} ,y _{1} )}\) i \(\displaystyle{ C = (x _{2} , y _{2} )}\). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej l tak, aby wyrażenie \(\displaystyle{ y _{1} +y _{2}}\) przyjmowało najmniejszą wartość.

[pyzol]

Zajmijmy się na początku prostą.
\(\displaystyle{ l:\;y=ax+b}\)
Do tej prostej należy punkt \(\displaystyle{ (2,5)}\)
\(\displaystyle{ 5=2a+b\\
b=5-2a\\
y=ax+5-2a}\)
Napiszemy teraz równanie, które wyznacza nam współrzędne \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) punktów przecięcia wykresów:
\(\displaystyle{ x^2=ax+5-2a\\
x^2-ax+2a-5=0*}\)
Obliczmy teraz \(\displaystyle{ y_1+y_2}\)
\(\displaystyle{ y_1=ax_1+5-2a\\
y_2=ax_2+5-2a\\
y_1+y_2=a(x_1+x_2)+10-4a}\)
\(\displaystyle{ x_1,x_2}\) są pierwiastkami równania *. Sumę ich wyznaczymy ze wzorów Viete'a.
\(\displaystyle{ x_1+x_2=a\\
y_1+y_2=a^2-4a+10=(a-2)^2+6}\)
Suma będzie najmniejsza dla a=...