Czworokąt wpisany w okrąg

[Adam656]

Witam,
mam problem z zadaniem

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, a jego przekątne przecinają się w punkcie S. Długość boku AB jest większa od długości boku CD. Wykaż, że pole trójkąta ABS jest większe od pola trójkąta CDS.

Pozdrawiam
Adam

[matematyk1995]

\(\displaystyle{ AB}\) jest podstawą trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\)
\(\displaystyle{ CD}\) jest podstawą trójkąta \(\displaystyle{ CDS}\)


\(\displaystyle{ \left|AB\right|}\)> \(\displaystyle{ \left|CD\right|}\)

W grę wchodzi jeszcze wysokość, ale nie umiem jej zbytnio wyliczyć.


Aby \(\displaystyle{ P _{ABS}}\) było większe od pola \(\displaystyle{ P _{CDS}}\) musi zachodzić równość

\(\displaystyle{ \frac{\left|AB\right| }{\left|CD\right| }}\) > \(\displaystyle{ \frac{\left| h _{ABS}\right| }{ \left| h_{CDS}\right| }}\)

Chyba ma być tak. Jeśli się mylę proszę o wyrozumiałość...

[Vax]

Zauważ, że trójkąty \(\displaystyle{ ABS}\) oraz \(\displaystyle{ CDS}\) są podobne, skalą podobieństwa jest \(\displaystyle{ k>1}\) (bo \(\displaystyle{ |AB|>|CD|}\)) a stosunek pól figur podobnych to \(\displaystyle{ k^2 > 1}\) skąd wynika teza.

Pozdrawiam.

[anna_]

Zauważ, że trójkąty \(\displaystyle{ ABS}\) oraz \(\displaystyle{ CDS}\) są podobne, skalą podobieństwa jest \(\displaystyle{ k>1}\) (bo \(\displaystyle{ |AB|>|CD|}\)) a stosunek pól figur podobnych to \(\displaystyle{ k^2 > 1}\) skąd wynika teza.

Pozdrawiam.

Na jakiej podstawie twierdzisz, że one są podobne?

[laurelandilas]

Wzór na pole trójkąta \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}absin \alpha}\), gdzie a,b to boki trojkata, a \(\displaystyle{ \alpha}\) to kat między nimi, załatwia sprawę.

UP: Z wierdzenia odwrotne do twierdzenia o "kątach widzenia", które zachodzi dla czworokata wpisanego w okrąg, wynika, że te trójkaty sa podobne.

[Vax]

Zauważ kąty oparte na tym samym łuku

[anna_]

Wzór na pole trójkąta \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}absin \alpha}\), gdzie a,b to boki trojkata, a \(\displaystyle{ \alpha}\) to kat między nimi, załatwia sprawę.

Możesz dokładniej to rozpisać?-- dzisiaj, o 21:28 --

Zauważ kąty oparte na tym samym łuku

No i o to chodziło

[laurelandilas]

Jeżeli pokażemy, że \(\displaystyle{ |AS| \cdot |BS| > |DS| \cdot |CS|}\), to otrzymamy tezę.
No ale trójkąty ASB i DCS są podobne, stąd \(\displaystyle{ \frac{|AS|}{|DS|} = \frac{|AB|}{|CD}}\), ale z załozenia AB>CD, stad AS>DS analogicznie BS>CS .