Weryfikacja hipotez dotyczących jednej i dwóch proporcji

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Weryfikacja hipotez dotyczących jednej i dwóch proporcji

Post autor: scyth » 26 maja 2011, o 10:59

Weryfikacja hipotez dotyczących proporcji (wskaźników struktury)
Model dla jednej proporcji
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwupunktowy, \(\displaystyle{ P(X=1)=p}\)
Hipoteza zerowa:
\(\displaystyle{ H_0: \ p=p_0}\)
Statystyka testowa dla małej próby:
\(\displaystyle{ \boxed{Z=2 \left( \arcsin \sqrt{\^p} - \arcsin \sqrt{p_0} \right) \sqrt{n}}}\)
Statystyka testowa dla dużej próby:
\(\displaystyle{ \boxed{Z=\frac{\^p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1-p_0)}{n}}}}}\)
Hipotezy alternatywne oraz obszary krytyczne:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c||c||c|} \hline
H_1: \ p \ne p_0 & H_1: \ p > p_0 & H_1: \ p < p_0 \\ \hline
\left(-\infty; -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) \cup \left(z_{1-\frac{\alpha}{2}}; +\infty\right) & \left(z_{1-\alpha}; +\infty\right) & \left(-\infty; -z_{1-\alpha}\right) \\ \hline
\end{tabular}}\)


Przykład 1.1
Ukryta treść:    
Przykład 1.2
Ukryta treść:    
Model dla dwóch proporcji
Zmienne \(\displaystyle{ X, \ Y}\) mają rozkład dwupunktowy, \(\displaystyle{ P(X=1)=p_1, \ P(Y=1)=p_2}\)
Hipoteza zerowa:
\(\displaystyle{ H_0: \ p_1=p_2}\)
Statystyka testowa dla małej próby:
\(\displaystyle{ \boxed{Z=2 \left( \arcsin \sqrt{\^p_1} - \arcsin \sqrt{\^p_2} \right) \sqrt{n^*}}}\)
Statystyka testowa dla dużej próby:
\(\displaystyle{ \boxed{Z=\frac{\^p_1 - \^p_2}{\sqrt{\frac{p^*(1-p^*)}{n^*}}}}}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \^p_1 = \frac{k_1}{n_1} \\
\^p_2 = \frac{k_2}{n_2} \\
p^* = \frac{k_1 + k_2}{n_1 + n_2} \\
n^* = \frac{n_1 \cdot n_2}{n_1 + n_2}}\)

Hipotezy alternatywne oraz obszary krytyczne:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c||c||c|} \hline
H_1: \ p_1 \ne p_2 & H_1: \ p_1 > p_2 & H_1: \ p_1 < p_2 \\ \hline
\left(-\infty; -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) \cup \left(z_{1-\frac{\alpha}{2}}; +\infty\right) & \left(z_{1-\alpha}; +\infty\right) & \left(-\infty; -z_{1-\alpha}\right) \\ \hline
\end{tabular}}\)


Przykład 2.1
Ukryta treść:    
Przykład 2.2
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ