przykład izometrii, która nie jest homeomorfizmem

[juyinkaaa91]

Czy pomógłby mi ktoś znaleźć przykład izometrii, która nie jest homeomorfizmem?

[szw1710]

Dziedzina: \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), przeciwdziedzina: \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) z normą maksimum: \(\displaystyle{ \|(x,y)\|=\max\{|x|,|y|\}.}\)

Określamy odwzorowanie \(\displaystyle{ T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2}\) wzorem \(\displaystyle{ T(x)=(x,\sin x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ |\sin x-\sin y|\le |x-y|}\) (do sprawdzenia, np. przez wzory trygonometryczne), to

\(\displaystyle{ \|T(x)-T(y)\|=\|(x,\sin x)-(y,\sin y)\|=\||x-y|,|\sin x-\sin y|\|=|x-y|,}\)

więc odwzorowanie \(\displaystyle{ T}\) jest izometrią. Nie jest homeomorfizmem prostej i płaszczyzny, bo np. nie jest surjekcją na całą płaszczyznę. Oczywiście prosta i płaszczyzna nie są homeomorficzne

[Wasilewski]

Można podać przykład izometrii przestrzeni Hilberta w siebie, która nie będzie homeomorfizmem:
\(\displaystyle{ T:l_{2}\rightarrow l_{2}}\),
przy czym \(\displaystyle{ T((a_{1},a_{2},\ldots)) = (0,a_{1},a_{2}, \ldots)}\). Izometryczność jest oczywista i przekształcenie nie jest na, a więc nie może być homeomorfizmem.

[gmpkm]

Oczywiście prosta i płaszczyzna nie są homeomorficzne

Skąd to wiadomo? Pewnie stąd, że nie można wskazać między nimi homeomorfizmu Ale skąd wiadomo, że taki homeomorfizm nie istnieje?

[Zordon]

Oczywiście prosta i płaszczyzna nie są homeomorficzne

Skąd to wiadomo? Pewnie stąd, że nie można wskazać między nimi homeomorfizmu Ale skąd wiadomo, że taki homeomorfizm nie istnieje?

Prostą można rozspoić usuwając jeden punkt, płaszczyzny się tak nie da.

[Ein]

Oczywiście prosta i płaszczyzna nie są homeomorficzne

Skąd to wiadomo? Pewnie stąd, że nie można wskazać między nimi homeomorfizmu Ale skąd wiadomo, że taki homeomorfizm nie istnieje?

Zordon podał jeden powód (najprostszy). Inny jest np. taki, że w płaszczyznę można zanurzyć okrąg, a w prostą się nie da.

Dlaczego się nie da?

Załóżmy, że się da, czyli istnieje homeomorfizm \(\displaystyle{ h:S^1\to h(S^1)\subseteq\mathbb{R}}\) (\(\displaystyle{ S^1}\) to zwyczajowe oznaczenie okręgu). Ponieważ funkcja ciągła przekształca przestrzeń spójną na spójną, więc \(\displaystyle{ h(S^1)}\) jest spójny. Z drugiej strony funkcja ciągła przekształca przestrzeń zwartą na zwartą, więc \(\displaystyle{ h(S^1)}\) jest zwarty. Jedyny podzbiorami prostej, które są spójne, zwarte i różne od punktu są odcinki domknięte postaci \(\displaystyle{ [a,b]}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R},a<b}\). Zatem \(\displaystyle{ h(S^1)=[a,b]}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a<b\in\mathbb{R}}\). Niech \(\displaystyle{ p=h^{-1}(a),q=h^{-1}(b)}\) będą punktami okręgu \(\displaystyle{ S^1}\). Wiemy, że każde dwa różne punkty na okręgu możemy połączyć dwoma różnymi łukami (które sumują się do całego okręgu); niech w tym przypadku będą to łuki \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Oczywiście łuki te są spójne, a więc ich obrazy przez \(\displaystyle{ h}\) też są spójne i każdy zawiera punkty \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Czyli stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ h(A)=h(B)=[a,b]}\), co przeczy różnowartościowości homeomorfizmu \(\displaystyle{ h}\).

Powyższy argument (podobnie jak argument Zordona) pokazuje również, że \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nie jest homeomorficzna z żadną przestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), gdzie \(\displaystyle{ n>1}\) -- wystarczy zamiast \(\displaystyle{ S^1}\) wziąć sferę \(\displaystyle{ n}\)-wymiarową \(\displaystyle{ S^n}\).