całka objętości ograniczona powierzchniami

[kluczyk]

Mam problem z rozpisaniem, jak ma wyglądać całka gdy mamy znaleźć objętość bryły ograniczonej objętościami:
\(\displaystyle{ z=x+y}\) , \(\displaystyle{ xy=1}\) , \(\displaystyle{ xy=2}\),\(\displaystyle{ x=y}\) ,\(\displaystyle{ y=2x}\), \(\displaystyle{ z=0}\) , \(\displaystyle{ x,y>0}\)

[chris_]

Bryła może być ograniczona płaszczyznami.

Tutaj objętość tej bryły policzysz ze wzoru:
\(\displaystyle{ \left| V\right| = \iint\limits_{D} f(x,y) dx dy}\)

Gdzie obszar D wygląda w ten sposób:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D1%2Fx%2C+y%3D2%2Fx%2C+y%3Dx%2C+y%3D2x

Patrz na dolny rysunek, obszar po prawej nad osią Ox (dlatego, że w zadaniu jest y>0). Narysuj go sobie w powiększeniu, podziel na obszary normalne najlepiej względem x i określ przedziały całkowania.

Funkcją podcałkową będzie oczywiście \(\displaystyle{ f(x,y) = x+y}\).

[kluczyk]

wiem, że tak to wszystko będzie wyglądać. Problem leży w tym, że w płaszczyźnie XY zarówno x jak i y są ograniczone przez funkcje i nie mam pojęcia jak określić te przedziały całkowania

[chris_]

zwłaszcza wzór:
\(\displaystyle{ D=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:\; a\leqslant x\leqslant b;\; f(x)\leqslant y\leqslant g(x)\}}\)

Tutaj właśnie \(\displaystyle{ y}\) jest ograniczony funkcjami\(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\). I w takiej postaci będą granice \(\displaystyle{ y}\).

[kluczyk]

Ale tutaj x jest ograniczone przez funkcje, a nie proste

[chris_]

To spójrz na ten rysunek i stwierdź, że nie masz racji:



Mogłoby być tak jak mówisz, gdyby przejść na funkcje odwrotne, wtedy y należałby do skończonych przedziałów. Obszarów normalnych również wyszłoby 2.