Operator sprzężony

[capricorn]

Mamy operator \(\displaystyle{ T: V \rightarrow W}\) i do niego sprzężony \(\displaystyle{ T^{*}: W ^{*} \rightarrow V ^{*}}\) zadany wzorem \(\displaystyle{ T^*\left(y^*\right)(x)=y ^{*}(Tx)}\), (inaczej \(\displaystyle{ <x|T ^{*}(y ^{*})>=<Tx|y ^{*}>}\)).
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest refleksywna to \(\displaystyle{ ||T ^{*}||=||T||}\)

[Wasilewski]

Refleksywność jest tu zupełnie niepotrzebna. Pokażę nierówność w jedną stronę, a w drugą jest jeszcze łatwiej.
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie takim wektorem jednostkowym, który prawie wybija normę \(\displaystyle{ T}\), czyli \(\displaystyle{ \|Tx\|\ge \|T\|-\varepsilon}\). Z twierdzenie Hahna-Banacha wynika istnienie funkcjonału o normie równej jeden takiego, że \(\displaystyle{ \varphi(Tx)=\|Tx\|}\). Stąd mamy ciąg nierówności:
\(\displaystyle{ \|T\|-\varepsilon \le \|Tx\|= |\varphi(Tx)| = |(\varphi \circ T)(x)|\le \|\varphi \circ T\| = \|T^{*}(\varphi)\| \le \|T^{*}\|}\).
Wobec tego (z dowolności epsilona) \(\displaystyle{ \|T\|\le \|T^{*}\|}\).
Proponuję teraz wykonać analogicznie szacowania w drugą stronę.

[capricorn]

Z tym, że nie mieliśmy jeszcze twierdzenia Hahna-Banacha, więc chyba trzeba skorzystać jakoś z refleksywności?

[szw1710]

Wydaje mi się, że na wykładzie z analizy funkcjonalnej twierdzenie Hahna-Banacha musi poprzedzać refleksywność, która jest dość głęboką własnością. Tymczasem twierdzenie Hahna-Banacha w wersji udowodnionej przez Banacha ( ... pol/02.pdf, druga strona pliku pdf) można sformułować już w rzeczywistych przestrzeniach liniowych (choć jest i wersja dla przestrzeni zespolonych, gdy rzeczony funkcjonał \(\displaystyle{ p}\) jest półnormą).

Twierdzenie Hahna-Banacha jest naprawdę podstawowe i duża część twierdzeń z analizy funkcjonalnej jest jego konsekwencją. Dość wspomnieć twierdzenia o oddzielaniu zbiorów czy twierdzenie Kreina-Milmana o tym, że w przestrzeni lokalnie wypukłej niepusty zbiór zwarty i wypukły jest domkniętą otoczką wypukłą zbioru swoich punktów ekstremalnych. Poza tym porównywanie słabej i mocnej ograniczoności itd. itp.

Wspomniane twierdzenie o tym, że w przestrzeni unormowanej dla każdego wektora niezerowego istnieje ciągły funkcjonał liniowy realizujący normę tego wektora, a norma tego funkcjonału wynosi 1, zwane jest twierdzeniem o wydobywaniu normy i wynika bezpośrednio ze wspomnianego powyżej twierdzenia Hahna-Banacha.

A może twierdzenie Hahna-Banacha pojawiło się pod inną nazwą, np. twierdzenie o przedłużaniu (rozszerzaniu) funkcjonałów liniowych czy coś w tym stylu? Naprawdę musiałeś je mieć. Przeszukaj dobrze notatki. Już z pierwszych wykładów.

[mustelanivalis]

Ech myślałem że działa ale nie działa

[Wasilewski]

Poza tym zdaje się, że z nierówności \(\displaystyle{ \|T^{*}\|\ge \|T\|}\) wynika ten wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha, o którym wspominałem (przynajmniej z dokładnością do epsilona), zatem dowodzenie jej inaczej będzie prawdopodobnie jedynie zaciemnianiem sprawy.