Eksponenty operatorów

[Wasilewski]

Pokazać, że każdy normalny odwracalny operator \(\displaystyle{ T\in \mathcal{B}(H)}\) jest eksponentą pewnego normalnego operatora \(\displaystyle{ S\in \mathcal{B}(H)}\). Czy \(\displaystyle{ S}\) musi należeć do algebry von Neumanna generowanej przez \(\displaystyle{ T}\)? Jeśli nie, to czy w ogóle istnieje \(\displaystyle{ S}\) o tej własności?

[fon_nojman]

Jeżeli ograniczymy się do operatorów samospęrzonych to odpowiedz jest negatywna. Wtedy \(\displaystyle{ T,}\) który nie jest dodatnio określony równał by się \(\displaystyle{ e^S,}\) który jest dodatnio określony. Nie wiem czy tak będzie dla normalnych.

[Wasilewski]

Akurat ta część zadania nie jest pytaniem, więc odpowiedź jest pozytywna w przypadku operatorów normalnych.

Wskazówka:    

Rachunek funkcyjny albo coś w tym stylu.

[mustelanivalis]

Każdy normalny odwracalny operator \(\displaystyle{ T \in \mathcal{B}(H)}\) jest eksponentą operatora \(\displaystyle{ \log T}\) (\(\displaystyle{ \log \in L_{\infty}(\sigma(T))}\), bo \(\displaystyle{ \sigma(T)}\) jest oddzielone od zera). \(\displaystyle{ \log T}\) jest normalny bo jest przemienny z \(\displaystyle{ (\log T)^*=\overline{\log} T}\) i nalezy do algebry von Neumanna generowanej przez \(\displaystyle{ T}\).

[Wasilewski]

Ok, to teraz to samo pytanie bez założenia odwracalności operatora \(\displaystyle{ T}\) (oczywiście zakładamy, że zero nie jest elementem spektrum).

[mustelanivalis]

Przeczytaj sobie uważnie co napisałeś. Być może potrzebujesz przypomnieć sobie definicję spektrum.

[Wasilewski]

Chyba (a nawet na pewno) napisałem co innego niż miałem na myśli, ale nie bardzo wiem co, więc spuśćmy na to zasłonę milczenia.
Ale ma sens następujące pytanie: czy każdy operator odwracalny jest eksponentą?
Oczywiście jest jasne, że grupa operatorów odwracalnych jest generowana przez eksponenty, więc pytanie jest w zasadzie o to, czy iloczyn eksponent jest eksponentą.

Powyższe pytanie nieaktualne (przynajmniej dla mnie), bo znalazłem fajny kontrprzykład.