Dowód dotyczący operatorów permutacji i tensorowego mnożenia

[Olivia Soprano]

Mam przestrzeń z iloczynem skalarnym (V,g)
Biorę przestrzeń tensora o walencji : p razy normalna, zero razy dualna (V)
Taka przestrzeń jest wyposażona w naturalny iloczyn skalarny (by the way - co to znaczy "naturalny" i skąd się to bierze?).
Trzeba wykazać, że wszystkie operatory permutacji \(\displaystyle{ P^{ \pi }, \pi \in S_{p}}\) są wewnętrznymi izometriami przestrzeni względem tego iloczynu.

[mustelanivalis]

Naturalny znaczy, że istnieje pewna liczba \(\displaystyle{ t_0}\) że każdy siedzący w odpowiedniej branży dłużej niż \(\displaystyle{ t_0}\) matematyk uważa, że to oczywiste, że coś o tej nazwie należy zdefiniować w dany sposób. W tym wypadku zapewne chodzi o definicję poprzez spełnianie następującego warunku na tensorach prostych:
\(\displaystyle{ g_{\otimes}(v_1 \otimes \ldots \otimes v_p, w_1 \otimes \ldots \otimes w_p) = g(v_1, w_1) \cdot \ldots \cdot g(v_p, w_p)}\)

No i teraz trzeba zrozumieć co ja tu wyżej napisałem i zobaczyć że jak zadziałamy taką permutacją na oba argumenty \(\displaystyle{ g_{\otimes}}\) (czyli jak popermutujemy indeksy, oczywiście tak samo w obu argumentach) to ta liczba po prawej stronie się nie zmieni.

//Jak się nazywa przedmiot z którego pochodzi to zadanie?