[MIX][Trygonometria] Kilka prostych zadań z trygonometrii

[laurelandilas]

Siema. Trzymajcie zadanka, miłej rozkminy:
1. W kwadracie ABCD punkt E jest środkiem boku CD. Przekątna AC tego kwadratu przecina odcinek BE w punkcie F. Wiedząc, że \(\displaystyle{ |<ECF| = x}\), \(\displaystyle{ |<CEF|=y}\), \(\displaystyle{ |<EFC|=z}\), wyznacz \(\displaystyle{ tg x, tg y, tg z}\).
2.W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości poprowadzonej do podstawy jest równa d. Kąt przy podstawie tego trójkąta ma miarę x. Oblicz pole tego trójkata.
3.W wycinek koła o promieniu o długości R i kącie środkowym o mierze \(\displaystyle{ 2x}\) (gdzie \(\displaystyle{ x < 90}\)) wpisano okrag. Wyznacz długość promienia tego okregu.
4.Dwa okregi styczne zewnetrznie maja wspolne styczne przecinajace sie pod katem o mierze 2x. Wyznacz stosunek dlugosci promieni tych okregow.
5.Wyznacz stosunek dlugosci promienia okregu opisanego na trojkacie rownoramiennym do dlugosci promienia okregu wpisnanego w ten trojkat majac dana miare 2x kata miedzy ramionami tego trojkata.
6.W trapez rownoramienny, ktorego kat ostry ma miare x wpisany jest okrag o promieniu r. Wyznacz dlugosc promienia okregu opisanego na tym trojkacie.
7.W trapezie rownoramiennym polaczono odcinkami srodki sasiednich bokow. Oblicz pole wpostale czoworokata majac dane dlugosci a i b (\(\displaystyle{ a>b}\)) podstaw tego trapezu oraz miare x kata ostrego.
8.Przekatna trapezu rownoramiennego dizeli kat rozwarty tego trapezu na dwa katy o miarach x i 2x(x to miara kata miedzy przkeatna i podstawa trapezu). Wyznacz stosunek pol trojkatow, na ktore ta przekatna podzielila ten trapez.
10.Dany jest trojkat ostrokatny ABC, w ktorym \(\displaystyle{ |BC| = a}\), oraz \(\displaystyle{ |<CAB|=x}\). Wyznacz odleglosc \(\displaystyle{ |DE|}\) spodkow wysokosci BD i CE tego trojkata.
11.Dlugosci przekatnych rombu wynosza \(\displaystyle{ 2p}\) i \(\displaystyle{ 2q}\) (gdzie \(\displaystyle{ p>q}\)). Miara kata ostrego tego rombu wynosi x. Wyznacz wartosc sinusa i cosinusa tego kata.
12. Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrag jest srednia okregu. Miara kata ostrego tego trapezu wynosi x. Oblicz cosinus tego kata wiedzac, ze stosunek obwodu trapezu do sumy dlugosci jego podstaw jest rowny \(\displaystyle{ 3:2}\).

[Mortify]

Zad 11

Ukryta treść:    

Z twierdzenia Pitagorasa bok rombu ma dł. \(\displaystyle{ \sqrt{p^2+q^2}}\). Łatwo zauważyć, że kąt \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) jest kątem pomiędzy przekątną długości \(\displaystyle{ 2p}\) a bokiem rombu (bo \(\displaystyle{ p>q}\))
Zatem z definicji sinusa i cosinusa mamy:

\(\displaystyle{ sin( \frac{x}{2} )= \frac{q}{\sqrt{p^2+q^2}}}\)
\(\displaystyle{ cos( \frac{x}{2})= \frac{p}{\sqrt{p^2+q^2}}}\)

Dalej mamy: \(\displaystyle{ sin(x)=2sin( \frac{x}{2})*cos( \frac{x}{2} )= \frac{2pq}{p^2+q^2}}\)

\(\displaystyle{ cos(x)=cos^2 (\frac{x}{2})- sin^2(\frac{x}{2})= \frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}}\)

[bakala12]

zad2.

Ukryta treść:    

a- podstawa , b-ramię, h wysokość opuszczona na podstawę
\(\displaystyle{ sinx= \frac{h}{b}}\) oraz \(\displaystyle{ h+b=d}\)
stąd \(\displaystyle{ b= \frac{d}{1+sinx}}\) oraz \(\displaystyle{ h= \frac{dsinx}{1+sinx}}\)
\(\displaystyle{ cosx= \frac{a}{2b}}\), stąd \(\displaystyle{ a= \frac{2dcosx}{1+sinx}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah= \frac{dsin2x}{2(1+sinx)^{2}}}\)

[K-mil]

Zad.1.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \tg x=1}\), \(\displaystyle{ \tg y = 2}\)

[Lbubsazob]

Zad. 7:    

Jeżeli trapez jest równoramienny, po połączeniu tych odcinków powstanie romb. Latwo można wyliczyć długości jego przekątnych. Pierwsza z nich to odcinek łączący środki ramion trapezu, czyli \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\). Druga to wysokość trapezu. Oznaczam \(\displaystyle{ h}\) jako wysokość trapezu, jak ją poprowadzimy na dłuższą podstawę, to powstanie odcinek o długości \(\displaystyle{ y}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ 2y=a-b}\), czyli \(\displaystyle{ y= \frac{a-b}{2}}\). W takim razie \(\displaystyle{ \tan x= \frac{h}{ \frac{a-b}{2} } \Rightarrow h= \frac{(a-b)\tan x}{2}}\).
Znamy przekątne rombu: \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{(a-b)\tan x}{2}}\), więc pole rombu to nic innego jak \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot \frac{(a^2-b^2)\tan x}{4}}\).

[kp1311]

3. Nietrudno zauważyć że \(\displaystyle{ sinx = \frac{r}{R-r}}\) skąd niemal natychmiast \(\displaystyle{ r= \frac{Rsinx}{sinx +1}}\)

[bakala12]

Zad.5.

Ukryta treść:    

a-podstawa, b-ramię, h-wysokść, P-pole, p-połowa obwodu
Prowadząc wysokość na podstawę mamy:
\(\displaystyle{ h=bcosx}\)
\(\displaystyle{ a=2bsinx}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{b ^{2}sin2x }{2}}\)
\(\displaystyle{ p=b(1+sinx)}\)
Liczymy:
\(\displaystyle{ R= \frac{2bsinx \cdot b ^{2} }{2b ^{2}sin2x}= \frac{b}{2cosx}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{\frac{b ^{2}sin2x }{2}}{b(1+sinx)}= \frac{bsin2x}{2(1+sinx)}}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{R}{r}= \frac{1+sinx}{2sin2xcosx}}\)

[Mortify]

Zad 6

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ p}\) - połowa długości podstawy trójkąta. Widzimy, że \(\displaystyle{ tg( \frac{x}{2})= \frac{r}{p}}\). Środek okręgu opisanego leży na wysokości(bo trójkąt równoramienny). Kąt utworzony przez środek okręgu opisanego, wierzchołek przy podstawie oraz spodek wysokości wynosi: \(\displaystyle{ 180^{\circ}-2x}\), a stąd: promień okręgu opisanego - \(\displaystyle{ R= \frac{p}{\sin(180{^\circ}-2x)}}\) czyli:\(\displaystyle{ R= \frac{r}{tg( \frac{x}{2})*\sin(2x) }= \frac{r}{2\cos(x)*(1-\cos(x))}}\) (dla x ostrych jest ok)

[laurelandilas]

Następna seria:

I ) W trapezie równoramiennym przekątne są prostopadłe, a długośc wysokości wynosi h. Oblicz pole tego trapezu.
II ) W trapezie równoramiennym podstawy mają długośc a i b (a>b), zaś ramię ma długośc c. Oblicz dlugośc promienia okręgu opisanego na tym trapezie.
III ) Na trapezie można opisac oraz mozna w niego wpisac okrag. Podstawy tego trapezu maja dlugosci a i b (a>b). Oblicz pole tego trapezu.
IV) Podstawy trapezu maja dlugosci a i b(a>b), zas przekatne maja dlugosci p i q. Oblicz pole tego trapezu.
V) W czworokacie ABCD odcinki laczace srodki przeciwleglych bokow sa rownej dlugosci oraz
|AC|=p i |BD|=q. Oblicz pole tego czworokąta.
VI) Na bokach AB i AC trojkata ABC obrano odpowiednio takie punkty K i M, ze \(\displaystyle{ |AK|=p|AB|, p \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ |CM|=q|AC|, q \in (0,1)}\) Proste BM i CK przecinaja sie w punkcie P, zas proste AP i BC przecinaja sie w punkcie L. Wyznacz stosunek |BL| : |BC|
VII)W czworokacie wypuklym ABCD: \(\displaystyle{ | \sphericalangle BAC| = \alpha , | \sphericalangle BCA|= \beta , | \sphericalangle BDC|=2 \alpha , | \sphericalangle BDA|=2 \beta, ( \alpha + \beta < 90 ^{ \cdot }.}\) Wyznacz miare kata miedzy przekatnymi tego czworokata.
VIII) Oblicz dlugosc promienia okregu wpisanego w wycinek kolowy o promienu R i kacie srodkowym o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\)
IX)W okrag o promieniu o dlugosci R "wpisano" n przystajacych okregow, z ktorych kazde dwa sasiednie sa styczne zewnetrznie oraz kazdy z nich jest styczny wewnetrznie do danego okregu. Wyznacz dlugosci ich promieni.
X) W romb o dlugosci boku i kacie ostrym o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) wpisano okrag. Oblicz pole prostokata, ktorego wierzcholkami sa punkty stycznosci okregu z bokami rombu.
XI)Dane sa dwa okregi o promieniach o dlugosci R i r styczne zewnetrznie i styczne do pewnej prostej. Oblicz pole figury ograniczonej tymi okregami oraz ta prosta.
XII)W trapezie ABCD boki nierownolegle AD i BC sa prostopadle oraz \(\displaystyle{ | \sphericalangle DAC| = | \sphericalangle ABC| = \alpha , ( \alpha < 45) i |AD|=a}\) Oblicz pole tego trapezu.

[mol_ksiazkowy]

ad 1

Ukryta treść:    

szkic
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(x+y )= a+b}\) i \(\displaystyle{ x+y = \sqrt{h^2+ \frac{S^2}{h^2}}}\) tj. \(\displaystyle{ \frac{2S}{h}= \sqrt{2} \sqrt{h^2+ \frac{S^2}{h^2}}}\) itd.