Udowodnić, że wzór jest podzielny przez 6

[MJay]

Może mi ktoś pomóc z dowodem tego wzoru?
\(\displaystyle{ 10^n+4^n - 2}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\)

wyciągnąłem \(\displaystyle{ 2}\) przed nawias i wyszedł mi taki wzór
\(\displaystyle{ 2 \cdot (2^{n - 1} \cdot (5^n + 2^n) - 1)}\) i nie wiem jak dalej udowodnić, że jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\).

[Crizz]

Ja bym proponował tak: \(\displaystyle{ 10^n+4^n-2=(10^n-1)+(4^n-1)}\) i tu skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia, żeby pokazać, że ta liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

[smigol]

Nie za bardzo potrafię dowodzić wzorów. Nie wiem też co oznacza, że wzór jest przez coś podzielny.

[MJay]

Nie widzę tego, tak jak \(\displaystyle{ (4^n - 1) = (2^n - 1)(2^n + 1)}\), tak nie mam pojęcia jaki wzór skróconego mnożenia użyć przy \(\displaystyle{ (10^n - 1)}\), bo raczej \(\displaystyle{ (\sqrt{10^n} - 1)(\sqrt{10^n} + 1)}\) nie będzie w żadnym stopniu przydatne.-- 15 maja 2011, o 23:04 --Chociaż czy można to opisać poprostu, że \(\displaystyle{ (10^n - 1)}\) jest zawsze podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) a suma czegoś podzielnego przez \(\displaystyle{ 3}\) i czegoś podzielnego przez \(\displaystyle{ 3}\) daje sumę czegoś podzielnego przez \(\displaystyle{ 2 \cdot 3}\), czyli automatycznie podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\)?

[Crizz]

a suma czegoś podzielnego przez \(\displaystyle{ 3}\) i czegoś podzielnego przez \(\displaystyle{ 3}\) daje sumę czegoś podzielnego przez \(\displaystyle{ 2 \cdot 3}\)(...)?

Skąd niby taki wniosek? \(\displaystyle{ 3+6}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 6}\)?

Możesz napisać najwyżej, że suma czegoś podzielnego przez \(\displaystyle{ 3}\) i czegoś podzielnego przez \(\displaystyle{ 3}\) daje coś podzielnego przez \(\displaystyle{ 3}\). Taki zapis się przyda pod warunkiem, że potrafisz udowodnić, iż \(\displaystyle{ 10^n-1}\) oraz \(\displaystyle{ 4^n-1}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).

Chodziło o ten wzór: \(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})}\).

[MJay]

Jestem zmęczony i nie mogę się wysłowić, chodziło mi, że czy jak udowodnię, że jeden i drugi nawias jest podzielny przez 3 to znaczy, że ten wzór jest podzielny przez 3, a drugi raz ten zwór udowodnię tak jak na początku myślałem, że jest podzielny przez dwa, to czy mogę wtedy stwierdzić, że jest podzielny przez 6?

BTW, twój sposób mi bardziej odpowiada, jednak jestem ciekawy odpowiedzi. Dzięki

[Crizz]

Odpowiedź na Twoje pytanie jest jak najbardziej twierdząca.

Nie ma problemu z osobnym udowadnianiem podzielności przez \(\displaystyle{ 2}\) i przez \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) nie mają wspólnych dzielników.

[MJay]

Ok. Super. Dzięki. Wcisnąłem już raz, że pomogłeś, to nie będę każdego posta oznaczał ;]

[anna_]

Nie prościej indukcyjnie?

[adambak]

anna_, dokładnie o tym samym pomyślałem
bo w sumie tutaj dużo kombinowania, a indukcyjnie od razu prawie..

[Vax]

Osobiście indukcji w udowadnianiu podzielności nie lubię używać, jeżeli już to lepiej z kongruencji, zauważamy, że dla dowolnego naturalnego n zachodzi \(\displaystyle{ 4^n \equiv 4\pmod{6}}\) skąd mamy:

\(\displaystyle{ 10^n+4^n-2 \equiv 4^n+4^n-2 \equiv 8-2 \equiv 6 \equiv 0\pmod{6}}\)

cnd.

Pozdrawiam.

[janka]

Za pomocą zasady indukcji:

założenie:

\(\displaystyle{ 10 ^{n}-4 ^{n}-2 =6k}\) ,gdzie k jest liczbą całkowitą

teza:

\(\displaystyle{ 10 ^{n+1}-4 ^{n+1} -2=6s}\), gdzie s jest liczbą całkowitą

dowód:

\(\displaystyle{ 10 ^{n+1} -4 ^{n+1}-2=}\)

\(\displaystyle{ =10 ^{n} \cdot 10-4 ^{n} \cdot 4 -2=}\)

\(\displaystyle{ =10 ^{n}(9+1)-4 ^{n}(3+1) -2=}\)

\(\displaystyle{ =10 ^{n} \cdot 9+10 ^{n} -4 ^{n} \cdot 3-4 ^{n} -2=}\)

\(\displaystyle{ =10 ^{n} \cdot 3-4 ^{n} \cdot 3+(10 ^{n} -4 ^{n} -2)=}\)

\(\displaystyle{ =3(10 ^{n}-4 ^{n} )+6k=}\)

\(\displaystyle{ =3(5 ^{n} \cdot 2 ^{n}-2 ^{n} \cdot 2 ^{n} )+6k=}\)

\(\displaystyle{ =2 ^{n} \cdot 3(5 ^{n} -2 ^{n} )+6k=}\)

\(\displaystyle{ =2 ^{n-1} \cdot 2 \cdot 3 \cdot (5 ^{n}-2 ^{n})+6k=}\)

\(\displaystyle{ =6 \cdot 2 ^{n-1}(5 ^{n} -4 ^{n})+6k=}\)

\(\displaystyle{ =6\left(2 ^{n-1} \cdot (5 ^{n} -2 ^{n} )+k)=6s}\)