[MIX] Zestaw I niekoniecznie nietrudnych problemów

[Burii]

Zadanie 1. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą całkowitą dodatnią taką, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ a+n ^{2}}\) jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych. Wykaż, że \(\displaystyle{ a}\) jest kwadratem liczby naturalnej.


Zadanie 2. Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P, Q, R}\) o współczynnikach rzeczywistych takie że:
\(\displaystyle{ \sqrt{P\left( x\right) } - \sqrt{Q\left( x\right) }=R\left( x\right)}\)

Zadanie 3. Czy jest możliwe wybranie \(\displaystyle{ 184\ 23}\)- elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ 184}\)elementowego , tak że przecięcie każdych dwóch tych podzbiorów ma co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) elementy?

Zadanie 4. Dwa okręgi o promieniu \(\displaystyle{ r}\) przecinają się w punktach \(\displaystyle{ X, Y}\) tak że \(\displaystyle{ XY=r}\). Na pierwszym okręgu obieramy punkt \(\displaystyle{ S}\) i prowadzimy styczne z \(\displaystyle{ S}\) do drugiego okręgu. Styczne te przecinają pierwszy okrąg w punktach \(\displaystyle{ A, B}\). Wykaż że prosta \(\displaystyle{ AB}\)jest styczna do drugiego okręgu.

Zadanie 5. Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\). Proste \(\displaystyle{ AB\ i\ CD}\) przecinają sie w punkcie \(\displaystyle{ E}\) , a proste\(\displaystyle{ AD, BC}\)w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Przypuśćmy że punkt \(\displaystyle{ X}\)leży wewnątrz czworokąta tak że \(\displaystyle{ \sphericalangle AXE= \sphericalangle CXF}\). Ile wynosi suma \(\displaystyle{ \sphericalangle AXB+ \sphericalangle CXD}\) ?

-- 7 maja 2011, o 20:48 --

Jakieś pomysły??

[ElEski]

Burii,
Załóżmy że \(\displaystyle{ a}\) nie jest kwadratem. Mamy: \(\displaystyle{ a= x^{2} + y^{2}}\), a także \(\displaystyle{ a+1=p^{2}+t^{2}}\), przy czym \(\displaystyle{ p,t,x,y}\) to różne liczby, co wynika z naszego założenia.
W szczególności \(\displaystyle{ x=p+cos, y=t-costam}\)
Mamy: \(\displaystyle{ a = (p+cos)^{2}+(t-costam)^{2} = p^{2}+t^{2}-1}\)
Rozpisz i powinno wyjść.
cos=Coś

[Burii]

n jest większe od 0 ( poprawiłem treść zadania).

[ElEski]

Burii,
tak samo chyba..-- 8 maja 2011, o 11:19 --2.)
Chyba wystarczy pobawić się w "próby" zrobienia takiej sytuacji i zobaczyć że się nie da.

[Burii]

2.)
Chyba wystarczy pobawić się w "próby" zrobienia takiej sytuacji i zobaczyć że się nie da.[/quote]

Chodzi Ci o 2 zadanie??

[pawelsuz]

\(\displaystyle{ P(x)=(x+1)^2, \ Q(x)=x^2, \ R(x)=1}\) czyli da sie na pewno tylko problem w tym ze tych wielomianów będzie mnóstwo...
Więc chyba chodziło o trzecie:P

[kp1311]

2. Nieskończona ilość.
Weźmy \(\displaystyle{ P(x) = P^{2}_{1}(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ P_{1}}\) jest dowolnym wielomianem przyjmującym tylko wartości nieujemne, podobnie \(\displaystyle{ Q(x) = Q^2_{1}(x)}\).
Wówczas \(\displaystyle{ \sqrt{P} - \sqrt{Q}= |P_{1}| - |Q_{1}| = P_{1} - Q_{1}}\) Teraz kładziemy \(\displaystyle{ R=P_{1} - Q_{1}}\).

Może w treści miało być:
\(\displaystyle{ \sqrt{P} - \sqrt{Q} = \sqrt{R}}\)?

[ordyh]

kp1311, ale czy są to jedyne rozwiązania?

[ElEski]

Burii,
tzn. jeden bierzemy jakiś 23 elementowy. Potem bierzemy kolejny, ale zauważamy, że musi dojść co najmniej 20 nowych...itd. a potem do jakiejś sprzeczności pewnie można dojść (nie będzie można już nowego podzbioru wybrać) :]
Mogę to napisać, ale nie teraz :/

[kp1311]

\(\displaystyle{ R \neq 0 \Rightarrow \sqrt{P}= R + \sqrt{Q} \Leftrightarrow P = R^2 + 2R \sqrt{Q} + Q \Leftrightarrow P-R^2-Q=2R \sqrt{Q}}\) Lewa strona to wielomian, więc prawa również, zatem \(\displaystyle{ \sqrt{Q}}\) musi być funkcją wymierną, zatem \(\displaystyle{ Q= \frac{A^2}{B^2}}\) ale \(\displaystyle{ Q}\)jest wielomianem z założenia, więc \(\displaystyle{ B^2|A^2}\) i \(\displaystyle{ Q=W^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ W}\). Analogicznie dowodzimy że \(\displaystyle{ P}\) jest kwadratem jakiegoś wielomianu.
Jeśli teraz \(\displaystyle{ R=0}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{P}= \sqrt{Q}}\) więc \(\displaystyle{ P=Q=W}\) dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ W}\) który jest zawsze nieujemny.
Jeśli \(\displaystyle{ R \neq 0}\).
To \(\displaystyle{ R= |P_{1}| - |Q_{1}|}\)
Zatem \(\displaystyle{ P_{1},Q_{1}}\) muszą być zawsze tego samego znaku w innym wypadku dla pewnych \(\displaystyle{ x}\) będzie np. \(\displaystyle{ R = P_{1} - Q_{1}}\) a dla innych \(\displaystyle{ R=P_{1} + Q_{1}}\), czyli sprzeczność w przypadku w którym \(\displaystyle{ P_{1},Q_{1},R_{1} \neq 0}\).
Jeśli np. \(\displaystyle{ P_{1}=0}\) to \(\displaystyle{ R={Q_{1}}\).

Mam nadzieje że to nie jest blef...


Wyszło na to że o ile \(\displaystyle{ P,Q}\) są różne to są kwadratami wielomianów które obydwa są nieujemne (niedodatnie) dla każdego x, a \(\displaystyle{ R=|P_{1}|-|Q_{1}|}\). Jeśli nie są różne to wystarczy żeby były nieujemne dla każdego \(\displaystyle{ x}\).

[Burii]

Burii,
tzn. jeden bierzemy jakiś 23 elementowy. Potem bierzemy kolejny, ale zauważamy, że musi dojść co najmniej 20 nowych...itd. a potem do jakiejś sprzeczności pewnie można dojść (nie będzie można już nowego podzbioru wybrać) :]
Mogę to napisać, ale nie teraz :/

Problem w tym, że zakładasz z góry negatywną odpowiedź a jest odwrotnie:D

[ElEski]

Burii,
aa, to przepraszam :]
Zastanowię się jeszcze, nie miałem dzis zbyt wiele czasu

[darek20]

tu jest wskazówka do zadania 5
zad 14

Kod: Zaznacz cały

http://web.mit.edu/yufeiz/www/imo2008/zhao-circles.pdf

[XMaS11]

Burii,
Załóżmy że \(\displaystyle{ a}\) nie jest kwadratem. Mamy: \(\displaystyle{ a= x^{2} + y^{2}}\), a także \(\displaystyle{ a+1=p^{2}+t^{2}}\), przy czym \(\displaystyle{ p,t,x,y}\) to różne liczby, co wynika z naszego założenia.
W szczególności \(\displaystyle{ x=p+cos, y=t-costam}\)
Mamy: \(\displaystyle{ a = (p+cos)^{2}+(t-costam)^{2} = p^{2}+t^{2}-1}\)
Rozpisz i powinno wyjść.
cos=Coś

W sumie to juz bezposrednio prowadzi do rozwiazania.

[Burii]

Burii,
Załóżmy że \(\displaystyle{ a}\) nie jest kwadratem. Mamy: \(\displaystyle{ a= x^{2} + y^{2}}\), a także \(\displaystyle{ a+1=p^{2}+t^{2}}\), przy czym \(\displaystyle{ p,t,x,y}\) to różne liczby, co wynika z naszego założenia.
W szczególności \(\displaystyle{ x=p+cos, y=t-costam}\)
Mamy: \(\displaystyle{ a = (p+cos)^{2}+(t-costam)^{2} = p^{2}+t^{2}-1}\)
Rozpisz i powinno wyjść.
cos=Coś

W sumie to juz bezposrednio prowadzi do rozwiazania.

My nie wiemy że istnieją \(\displaystyle{ x, y}\) takie że \(\displaystyle{ a=x ^{2}+y ^{2}}\)-- 15 maja 2011, o 20:21 --

Burii,
Załóżmy że \(\displaystyle{ a}\) nie jest kwadratem. Mamy: \(\displaystyle{ a= x^{2} + y^{2}}\), a także \(\displaystyle{ a+1=p^{2}+t^{2}}\), przy czym \(\displaystyle{ p,t,x,y}\) to różne liczby, co wynika z naszego założenia.
W szczególności \(\displaystyle{ x=p+cos, y=t-costam}\)
Mamy: \(\displaystyle{ a = (p+cos)^{2}+(t-costam)^{2} = p^{2}+t^{2}-1}\)
Rozpisz i powinno wyjść.
cos=Coś

W sumie to juz bezposrednio prowadzi do rozwiazania.

My nie wiemy że istnieją \(\displaystyle{ x, y}\) takie że \(\displaystyle{ a=x ^{2}+y ^{2}}\)

Aha już rozumiem post