Obliczyć pole pętli linii /zastosowanie geometryczne całek/

[moniczkaam]

Obliczyć pole pętli linii
\(\displaystyle{ x=2t-t^2, y=2t^2-t^3}\)

[soku11]

Wzor masz tutaj:

38966.htm

Aby znalezc zakres zmian t szukamy przeciec ukladu:
\(\displaystyle{ 2t-t^2=2t^2-t^3\\
2t-3t^2+t^3=0\\
t(t^2-3t+2)=0\\
t(t-1)(t-2)=0\\}\)

Wiemy teraz, ze petla sie bedzie zawierac miedzy punktami \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (1,1)}\). Dla \(\displaystyle{ t=0}\) i \(\displaystyle{ t=2}\) otrzymujemy punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), natomiast dla \(\displaystyle{ t=1}\) otrzymumemy \(\displaystyle{ (1,1)}\). Takze granica dla t bedzie \(\displaystyle{ t\in[0,2]}\), gdyz chcemy aby petla sie domknela (idzie od (0,0) przez (1,1) do (0,0)).

Pozdrawiam.

[moniczkaam]

No i tak właśnie to liczyłam, w taki sposób:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}(2t^2-t^3)(2t-t^2)' dt}\)
i wynik wyszedł mi ujemny
chyba, że trzeba jeszcze sprawdzić, czy x(t) jest funkcją malejącą czy rosnącą tak?

[soku11]

Cos chyba pomylilas w tym wzorze:
\(\displaystyle{ |P|=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2} [(2t-t^2)(2t^2-t^3)'-(2t^2-t^3)(2t-t^2)']\mbox{d}t=
\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2} [(2t-t^2)(4t-3t^2)-(2t^2-t^3)(2-2t)]\mbox{d}t=\ldots}\)


I teraz to liczysz... Pozdrawiam.

[moniczkaam]

kurcze a to dziwnie, bo u mnie w ksiazce jest wzor :

jeśli \(\displaystyle{ x=g(t), y=h(t),}\) to pole obszaru ograniczonego łukiem danej krzywej, odcinkiem osi Ox oraz prostymi \(\displaystyle{ x=x_1, x=x_2}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1=g(t_1), x_2=g(t_2)}\) wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P=\int_{x_1}^{x_2}|y|dx=\int_{t_1}^{t_2}|h(t)|g'(t)dt}\)

i jak sie ma to jedno do drugiego wzoru?

[thunderja]

a skąd wiadomo, że pętla będzie się zawierać miedzy punktami (0,0) i (1,1) ?