Dyfeomorfizmy, odwzorowania

[matbla91]

Witam,
bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań. Pierwsze dwa podpunkty pierwszego zadania umiem rozwiązać, ale chodzi mi również o teorię, żeby nic nie pominąć w rozwiązaniu.

1).
a). Wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) istnieje dokładnie jedno \(\displaystyle{ y=y(x)}\) spełniające równanie \(\displaystyle{ 3x+e^{x}=y+e^{y}}\).
b). Wykazać, że określone powyższym warunkiem odwzorowanie \(\displaystyle{ x \rightarrow y(x)}\) jest dyfeomorfizmem klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\).
c). Obliczyć pochodną dyfeomorfizmu odwrotnego \(\displaystyle{ y \rightarrow x(y)}\) w punkcie \(\displaystyle{ y=0}\).

2). Niech \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\) będzie funkcją klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) taką, że dla pewnego \(\displaystyle{ 0<k<1}\) przy wszystkich \(\displaystyle{ x \in R}\) zachodzi \(\displaystyle{ |f'(x)| \le k}\). Wykazać, że odwzorowanie \(\displaystyle{ y=x+f(x)}\) jest dyfeomorfizmem klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\).

Dzięki!

[fon_nojman]

Poczytaj twierdzenie o funkcji uwikłanej.

[Lolek271]

Odgrzewam. Jest w stanie ktoś rozwiązać zadanie nr 2?

[pipol]

2. \(\displaystyle{ y'(x)=1+f'(x)>0}\) zatem \(\displaystyle{ y(x)}\) jest różnowartościowa. Ponadto \(\displaystyle{ |f(x)-f(0)| \le k|x|}\) skąd \(\displaystyle{ |f(x)| \le |f(0)|+k|x|}\) mamy więc \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } y(x) \ge \lim_{ x\to\infty } (x-kx-|f(0)|)=\infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ x\to -\infty} y(x) \le \lim_{ x\to -\infty } (x-kx+|f(0)|)=-\infty}\) więc \(\displaystyle{ y}\) jest bijekcją. Oznaczmy \(\displaystyle{ g=y^{-1}}\) wówczas z twierdzenia o pochodnej f-cji odwrotnej dostajemy, że \(\displaystyle{ g}\) jest różniczkowalna w sposób ciągły, czyli \(\displaystyle{ y}\) jest dyfeomorfizmem klasy \(\displaystyle{ C^1.}\)