oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnami
-
damcios
- Użytkownik
- Posty: 341
- Rejestracja: 3 lis 2008, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 1 raz
oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnami
\(\displaystyle{ x+z-4=0,z=0,y= \sqrt{x} ,y=2 \sqrt{x}}\)
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3040
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnami
Patrząc od góry, bryła jest ograniczona płaszczyzną \(\displaystyle{ z=-x+4}\) , a od dołu płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\).
Opisując podstawę bryły, czyli obszar \(\displaystyle{ A}\) zauważamy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ \sqrt{x} \le y \le 2 \sqrt{x} \end{cases}}\)
Czyli mamy całkę po obszarze \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{A}^{} (-x+4) \mbox{d}A = \int_{0}^{4} \mbox{d}x \int_{ \sqrt{x} }^{2 \sqrt{x} } (-x+4) \mbox{d}y = \int_{0}^{4} -xy+4y \ | ^{2 \sqrt{x} } _{ \sqrt{x} } \ \mbox{d}x = \\ \int_{0}^{4} (-x \cdot 2 \sqrt{x} +4 \cdot 2 \sqrt{x}+x \cdot \sqrt{x} -4 \sqrt{x}) \mbox{d}x = \\ \int_{0}^{4} (4 \sqrt{x} -x \sqrt{x} ) \mbox{d}x = \\ 4 \int_{0}^{4} x ^{ \frac{1}{2} } \mbox{d}x - \int_{0}^{4} x ^{ \frac{3}{2} } \mbox{d}x = \\ 4 \cdot \frac{x ^{1+ \frac{1}{2} } }{1+ \frac{1}{2} } \ | ^{4} _{0} - \frac{x ^{1+ \frac{3}{2} } }{1+ \frac{3}{2} } \ | ^{4} _{0} = 4 \cdot \frac{4 ^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } - \frac{4 ^{ \frac{5}{2} } }{ \frac{5}{2} }= \\ 4 \cdot 4 ^{ \frac{3}{2} } \cdot \frac{2}{3} -4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{2}{5} = \\ 4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{2}{3} -4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{2}{5} = \\ 4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{10}{15} -4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{6}{15} = \\ 4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{4}{15} =32 \cdot \frac{6}{15} = \frac{192}{15} =12 \frac{12}{15} =12 \frac{4}{5}}\)
Opisując podstawę bryły, czyli obszar \(\displaystyle{ A}\) zauważamy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ \sqrt{x} \le y \le 2 \sqrt{x} \end{cases}}\)
Czyli mamy całkę po obszarze \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{A}^{} (-x+4) \mbox{d}A = \int_{0}^{4} \mbox{d}x \int_{ \sqrt{x} }^{2 \sqrt{x} } (-x+4) \mbox{d}y = \int_{0}^{4} -xy+4y \ | ^{2 \sqrt{x} } _{ \sqrt{x} } \ \mbox{d}x = \\ \int_{0}^{4} (-x \cdot 2 \sqrt{x} +4 \cdot 2 \sqrt{x}+x \cdot \sqrt{x} -4 \sqrt{x}) \mbox{d}x = \\ \int_{0}^{4} (4 \sqrt{x} -x \sqrt{x} ) \mbox{d}x = \\ 4 \int_{0}^{4} x ^{ \frac{1}{2} } \mbox{d}x - \int_{0}^{4} x ^{ \frac{3}{2} } \mbox{d}x = \\ 4 \cdot \frac{x ^{1+ \frac{1}{2} } }{1+ \frac{1}{2} } \ | ^{4} _{0} - \frac{x ^{1+ \frac{3}{2} } }{1+ \frac{3}{2} } \ | ^{4} _{0} = 4 \cdot \frac{4 ^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } - \frac{4 ^{ \frac{5}{2} } }{ \frac{5}{2} }= \\ 4 \cdot 4 ^{ \frac{3}{2} } \cdot \frac{2}{3} -4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{2}{5} = \\ 4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{2}{3} -4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{2}{5} = \\ 4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{10}{15} -4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{6}{15} = \\ 4 ^{ \frac{5}{2} } \cdot \frac{4}{15} =32 \cdot \frac{6}{15} = \frac{192}{15} =12 \frac{12}{15} =12 \frac{4}{5}}\)
-
damcios
- Użytkownik
- Posty: 341
- Rejestracja: 3 lis 2008, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 1 raz
oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnami
miałem problem z narysowaniem tego w r3-- 13 maja 2011, 11:11 --dacie mi jakiś algorytm bez rysowania np. dla przykładu
\(\displaystyle{ z=y^{2},z=-1,y=0,y=2-x,y=2+x}\)
\(\displaystyle{ z=y^{2},z=-1,y=0,y=2-x,y=2+x}\)