[Równania funkcyjne] Szukamy funkcji

[mol_ksiazkowy]

Znajdz wszystkie takie funkcje \(\displaystyle{ f}\) okreslone na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych i przyjmujace wartosci w tym zbiorze, ze ma miejsce warunek:

\(\displaystyle{ f(f(n))+ f(n)=2n+6}\) dla n=0, 1, 2, ...

[Tristan]

Rozważę przypadek, gdy funkcja f jest funkcją wielomianową:
Oczywiście funkcja f musi stopnia co najmniej pierwszego. I właśnie ten przypadek rozpatrzę, czyli dla \(\displaystyle{ f(n)=an+b}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \mathbb{N_{+}} \cup \{0 \}}\).
Mamy wtedy \(\displaystyle{ f(f(n)) +f(n)=f(an+b)+(an+b)=[a(an+b)+b] + (an+b)=(a^2 +a)n +ab+2b}\). Z założenia \(\displaystyle{ f(f(n))+f(n)=2n+6}\), więc ma zachodzić koniunkcja \(\displaystyle{ a^2 +a=2 ab+b=6}\). Pamiętając o tym, ze a,b są całkowite nieujemne i zapisując nasz warunek jako \(\displaystyle{ a(a+1)=2 b(a+2)=6}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a=1 b=2}\). Dostajemy w ten sposób, że jedyną funkcją liniową spełniającą warunki w zadaniu jest \(\displaystyle{ f(n)=n+2}\).

Zauważmy, że gdyby funkcja f była stopnia większego od jeden i miałaby spełniać warunki zadania to:
Niech \(\displaystyle{ f(n)=a_{k} n^k +a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_{1} n +a_{0}}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(f(n))+f(n)=f(a_{k} n^k +a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_{1} n +a_{0}) + a_{k} n^k +a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_{1} n +a_{0}=a_{k} ( a_{k} n^k +a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_{1} n +a_{0})^k) + a_{k_1} ( a_{k} n^k +a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_{1} n +a_{0}) +... + a_{1} ( a_{k} n^k +a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_{1} n +a_{0}) +a_{0} + a_{k} n^k +a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_{1} n +a_{0}}\). Skoro \(\displaystyle{ f(f(n)) + f(n)=2n+6}\) to wszystkie współczynniki przy n stopnia większego od 1 muszą być równe zero. W ostateczności dostaniemy więc znów wielomian stopnia pierwszego i dojdziemy do wcześniejszej odpowiedzi, że \(\displaystyle{ f(n)=n+2}\).

[mastermind]

wszystko fajnie, ale nikt nie powiedział, że to musi być wielomian

[Tristan]

Masz może przykład funkcji nie będącej wielomianową i spełniającą warunki zadania? Oczywiście nie przeczę, że taka nie istnieje - ale poprawiłem posta i teraz jest bardziej konkretny

[mol_ksiazkowy]

ta funkcja jest jedyna, Jak to wykazać...? idea - szkic jest taka, zeby wziasc ciąg \(\displaystyle{ x_0=0, \ x_{k+1}=f(x_k)}\) i wtedy... : \(\displaystyle{ x_{k+2}=2x_{k}-x_{k+1}+6}\), i dalej być może indukcją....wykazać, że \(\displaystyle{ x_{k}=2k}\)...Ktos dopracuje szczegoly?!