Równanie różniczkowe

[lunatyk]

Jest to zadanie wyciągnięte z kosza Tzn. problemu nie zrozumiałem, a temat moderator wyrzucił mi do kosza. Wrzucam jeszcze raz, tym razem w latexie.

\(\displaystyle{ (1+t^2)dy - (1+y^2)dt = 0}\)
przy założeniu początkowym:
\(\displaystyle{ y(1)=0}\)

Robię to tak:

\(\displaystyle{ (1+t^2)dy = (1+y^2)dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{(1+y^2)} = \frac{dt}{(1+t^2)}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{(1+y^2)} =\int \frac{dt}{(1+t^2)}}\)
\(\displaystyle{ arctan(y) = arctan(t) + C}\)

I teraz jest problem... Obkładam to tangensem. Choć nie wiem czy to poprawnie... ?

\(\displaystyle{ y = t + tan(C)}\)
\(\displaystyle{ y = t + C}\)

[BraveMind]

To znaczyłoby, że \(\displaystyle{ tg(\alpha + \beta)=tg(\alpha)+tg(\beta)}\), a tak nie jest. Przypominam wzór:

\(\displaystyle{ tg(\alpha + \beta)=\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha tg\beta}}\)

W tym przypadku dla \(\displaystyle{ \alpha=arctangx}\) i \(\displaystyle{ \beta=C}\)

[M Ciesielski]

Najpierw proponowałbym skorzystać z warunku początkowego, a wynik postaci \(\displaystyle{ y=\tg (\arc\tg t + C)}\) to też raczej nic dziwnego. Trochę kapa korzystać tu z tej tożsamości trygonometrycznej.