[Ciągi] Ciąg arytm i geom

[inny]

Wykaż, ze nie istnieje ciąg
a) arytmetyczny
b) geometryczny
takie, że wszystkie jego wyrazy są kwadratami liczb naturalnych

[LisuBB]

Nieprawda.

Weźmy \(\displaystyle{ a_1=k^2}\), dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego i \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\).
Ani a) ani b) nie działa.

[anna_]

Ale tam było:

Wykaż, ze nie istnieje ciąg

[LisuBB]

Ale tam było:

Wykaż, ze nie istnieje ciąg

Polecam czytanie ze zrozumieniem

[tkrass]

Łatwo się domyślić, że autorowi chodziło o ciąg o różnicy/ilorazie różnym od zera/jedynki. Przy czym przy geometrycznym teza dalej jest nieprawdziwa, wystarczy wziąć iloraz będący kwadratem. Dla arytmetycznego teza wynika z tego, że różnica między kwadratami dwóch kolejnych kwadratów rośnie (i to do nieskończoności), w związku z czym dla dowolnej różnicy ciągu znajdziemy miejsce, od którego ta różnica będzie mniejsza od różnicy pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami.

[mol_ksiazkowy]

b) geometryczny

a co z ciagiem \(\displaystyle{ b_n=4^n}\) ..?!

[pawelsuz]

Skorzystam z tematu, bo nasunął mi pytanie. Czy istnieje ciąg arytmetyczny 4-elementowy, ktorego wyrazy sa kwadratami? Jak znaleźć wszystkie 3-elementowe?

[smigol]

Czy istnieje ciąg arytmetyczny 4-elementowy, ktorego wyrazy sa kwadratami?

Nie. Chyba, że różnica ciągu może być równa 0.

[pawelsuz]

a jakis dowód?

[smigol]

Jakoś tam z krzywymi eliptycznymi trzeba się pobawić. Innego dowodu nie widziałem, chętnie zobaczyłbym coś elementarnego.