funkcje skończenie całkowalne

[ZANETA GDA]

Dana jest przestrzeń z miarą\(\displaystyle{ \quad (X,A, \mu)}\) i \(\displaystyle{ f,f_n:X \rightarrow R}\)- funkcje skończenie całkowalne
\(\displaystyle{ \int_{X}^{}|f_n-f|d\mu \rightarrow 0 \quad n \rightarrow \infty}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \quad \int_{X}^{}|f_n|d\mu \rightarrow \int_{X}^{}|f|d\mu ,\quad n \rightarrow \infty}\)

Mój problem wygląda następująco.:
Wykazałam,że zachodzi w jedną stronę.ale nie wiem jak pokazać ,że implikacja odwrotna nie zawsze jest prawdziwa.jak wymyśla się kontrprzykład w tego typu zadaniach.
z góry dziękuję za pomoc

[mustelanivalis]

Na początek zamiast \(\displaystyle{ (X, \mu)}\) pomyśl o jakiejś konkretnej przestrzeni z miarą, np. odcinek \(\displaystyle{ [0,1]}\) z miarą Lebesgue'a. Możesz też zwrócić uwagę, że jeśli będziesz myśleć tylko o funkcjach dodatnich to możesz zapomnieć o modułach po prawej stronie implikacji.

No to teraz myślę że jest dośc łatwo wymyśleć przykłady funkcji których całki zbiegają (albo nawet są równe) całce z jakiejś innej (niezerowej) funkcji która kompletnie nie ma z nimi nic wspólnego (np. ma rozłączny nośnik z wszystkimi funkcjami z tego ciągu). Najlepiej wybrać możliwie proste przykłady, żeby można było łatwo oszacować z dołu ciąg całek po lewej stronie.

[ZANETA GDA]

co masz przez to na myśli " rozłączny nośnik z wszystkimi funkcjami z tego ciągu"?

\(\displaystyle{ f_n=n*I_\left[ 0, \frac{1}{n}\right] \quad}\)
\(\displaystyle{ f_n \rightarrow 0 \quad \lambda}\) prawie wszędzie
\(\displaystyle{ \int_{\left[ 0,1\right] }^{}f_n d\lambda =1}\)

czy to na pewno dobry przykład?